Re: Hoe kun je de wortel uit een negatief getal trekken?

Dit is een reactie op vraag 33668

Bedankt:) maar zou dan dus de wortel uit -25 ( √-25 ) i√25 zijn? en zou je dat dan mogen 'vertalen' naar i5 ?
alvast weer bedankt

Ward
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 8 februari 2005

Antwoord

Ja, dat heb je helemaal goed begrepen. Overigens zitten er nog wel wat addertjes onder het gras. Davy wijst er al op dat niet alle rekenregels die je in $\mathbf{R}$ kent ook in $\mathbf{C}$ nog gelden, maar hier is dat dus nog geen probleem. Om een voorbeeld te geven van iets wat fout kan gaan:

-1 = i² = i·i = √(-1) · √(-1) = √(-1·-1) = √(1) = 1

wat hier fout gaat is het feit dat worteltrekken niet eenduidig te definieren is. Immers, de wortel van een getal y is per definitie het getal x waarvoor geldt dat x²=y. Maar bijvoorbeeld 2²=4, terwijl ook (-2)²=4, dus √4 zou ook -2 kunnen zijn. Voor reele getallen kunnen we dan per definitie de positieve van de twee nemen, maar in $\mathbf{C}$ kunnen we niet meer praten over groter/kleiner dan, dus dan is het niet meer duidelijk of bijvoorbeeld √(-1) gelijk moet zijn aan +i of aan -i. In de complexe functietheorie is het dan ook heel gebruikelijk om meerwaardige functies te definieren, die meerdere waarden kunnen hebben. Dan is dus √(-1) = +i, maar óók √(-1) = -i. Dat klinkt heel erg vaag, maar dat kan op een slimme manier eenduidig gedefinieerd worden, het voert echter te ver om daar hier dieper op in te gaan. In bovenstaande voorbeeld is daarom het vierde gelijkteken niet waar, het hoeft niet altijd zo te zijn dat √(a·b) = √(a)·√(b), omdat je op een andere 'tak' van de wortel-functie terecht kunt komen.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
vrijdag 11 februari 2005

©2001-2024 WisFaq