Kromming

Hoe kom je aan deze formule voor vormverandering van een kromme?
1/R=((d²y/dx²)/((1+(dy/dx)²)^(3/2) )
(dy/dx) is in absolute waardes ook 1+(dy/dx)
kan iemand mij hiermee helpen?
als r de straal is?

veertj
3de graad ASO - donderdag 3 februari 2005

Antwoord

Veertje,
Is een kromme gegeven door y=f(x) en zijn P en Q twee punten van die kromme met coördinaten P(x1,y1) en Q(x1+Dx,y1+Dy) dan is de lengte Ds van de koorde, die de punten P en Q met elkaar verbinden Ds=Ö(Dx)²+(Dy)².

Laten we nu Dx naar nul gaan, dan is ds/dx=lim Ds/Dx=Ö(1+(dy/dx)²) of ds=dxÖ(1+y'²). Zijn a1 en a2 de hoeken, die de raaklijnen in P en Q maken met de positieve x-as en is Da=a2-a1, dan noemt men de limiet van het quotiënt Ds/Da als Q langs de kromme tot P onbepaald nadert , de kromtestraalR van de kromme in het punt P.
Dus R=lim Dz/Da voor Da®0.

De omgekeerde waarde1/R heet de kromming in het punt P.
Nu is in P: (zie hiervoor)ds=dxÖ(1+y'²) en tga=y'of a=arctg y'waaruit volgt dat da/dx=y''/(1+y'²)of da=dx(y''/(1+y'²)).Voor de kromming in het punt P vinden we dus 1/R=da/ds=y''/(1+y'²)^3/2.
Groetend

kn
zondag 6 februari 2005

©2001-2024 WisFaq