Stelsel van vergelijkingen oplossen

Gegeven het volgende stelsel van vergelijkingen:
27a + 9b + 3c + d = 4
64a + 16b + 4c + d = 10
125a + 25b + 5c + d = 20
216a + 36b + 6c + d = 35

Ik kom uit op c = -1/6, maar kom geen stap verder en betwijfel of dat klopt. Kunt u mij uitleggen wat ik moet doen?

Met vriendelijke groet

R. Suy
Student hbo - donderdag 27 januari 2005

Antwoord

Beste,

Je weet hoogstwaarschijnlijk dat je dit kunt oplossen met Gauss-eliminatie (werken naar de bekende 'trapvorm').
Maar je kunt het ook anders aanpakken. Je kunt als je geen zin heb om na te denken een algemene regel toepassen die je alle a,b,c en d's geeft. Je past dan de zogenaamde Regel van Cramer toe. Eerst herschrijf je het stelsel. Je zorgt ervoor dat de coëfficiënten in één matrix staan en dat de onbekenden in één matrix staan, en zó dat ze na vermenigvuldigen hetzelfde als links van de '=' staat. Rechts staat waar het aan gelijk moet zijn.
Ik bedoel het volgende

Zie je dat als je de vermenigvuldiging hebt uitgevoerd er precies hetzelfde staat?
Om nu die a,b,c en d's te vinden gaan we de regel van Cramer gebruiken. Informeel zou je die regel als volgt kunnen geven: "Kijk op welke plaats de onbekende die je wilt weten staat [in de tweede matrix]. Vervang de kolom (die overeenkomt met de plaats van de onbekende) in de coëfficiëntenmatrix met de 'uitkomst-matrix'. De onbekende kan gevonden worden door de determinant van de nieuwe matrix te berekenen en die te delen [als deling is toegestaan] door de determinant van de oorspronkelijke coëfficiëntenmatrix".
Dit klinkt misschien heel moeilijk, maar 't is verbluffend eenvoudig. Ik heb de onbekenden met een apart kleurtje aangegeven en de bekenden met rood aangegeven.

De a staat op de eerste plek in de onbekenden-matrix hierboven, dus vervangen we de eerste kolom van de coëfficiëntenmatrix door de rode bekenden-matrix.
Rest nu nog de vraag hoe je een determinant berekent. Dat kan je m.b.v. grafisch rekenmachine of met bv. Maple.
Maar handmatig kan ook. Ik ga je niet vervelen met de details, maar een manier is via kolomontwikkeling.

Je schrijft het eerste element van de eerste kolom op (de rood omkaderde 4 schrijf je op als de blauwe 4 met hokje). Dan streep je de bijbehorende rij en kolom weg (waar de 4 in stond). De determinant van de kleinere matrix schrijf je achter de zojuist opgeschreven 4 (zie blauwe matrix).
Dan herhaal je de procedure maar dan met het tweede element van de eerste kolom, de 10. MAAR je zet om de beurt een minteken (eigenlijk is dit (-1)^{rijindex + kolomindex}, maar dat komt op hetzelfde neer).
Daarom staat er -10·det(...). Je schrapt weer de rij en de kolom waar de 10 in stond en vermenigvuldigt de -10 met de determinant van de nieuwe matrix.
Hetzelfde voor 20 en 35.

Nu kun je de determinant berekenen want op deze manier wordt de oorspronkelijke determinant steeds kleiner totdat je één getal uitkrijgt (de determinant van de matrix). Ik heb de eerste determinant (zie blauw) helemaal uitgewerkt. Je kunt de andere zelf uitwerken op dezelfde manier.

Nu kun je alle onbekenden vinden via de volgende berekeningen.

Maar ik geef toe dat het veel tijd kost en dat slim vegen sneller gaat, maar deze manier werkt algoritmisch.
Via Maple geeft solve({27*a+9*b+3*c+d=4,64*a+16*b+4*c+d=10,125*a+25*b+5*c+d=20,216*a+36*b+6*c+d=35}); je binnen no time het antwoord.

Groetjes,

Davy.

donderdag 27 januari 2005

©2001-2024 WisFaq