Goniometrische formules

Hoi, ik moet 2 identiteiten bewijzen en geraak er niet wijs uit.

1) cos a + cos b + cos c + cos (a+b+c) = 4cos (a+b)/2 cos(b+c)/2 cos(c+a)/2

Zelf was ik, naar analogie met een andere oefening zo begonnen:
LL= 2cos(a+b)/2 cos(a-b)/2 + 2cos(c+(a+b+c))/2 cos(c-(a+b+c)/2

= 2cos (a+b)/2 cos (a-b)/2 + 2cos (2c+a+b)/2 cos (-a-b)/2

= 2cos (a-b)/2 (cos (a+b)/2 + cos (2c+a+b)/2)

= 2cos (a-b)/2 (2cos (a+b+c)/2 cos (-c)/2)

= 4cos (a-b)/2 cos (a+b+c)/2 cos (-c)/2
Maar dan loopt ik vast, er zullen waarsch. wel enkele fouten inzitten?

2) Als we weten dat $\alpha$+$\beta$+$\gamma$=$\pi$ bewijs dan:
sin$\alpha$+ sin$\beta$-sin$\gamma$ = 4 sin ($\alpha$/2) sin ($\beta$/2) cos ($\gamma$/2)

Ik was begonnen met $\gamma$= $\pi$-($\alpha$+$\beta$) dus sin$\gamma$ = sin ($\alpha$+$\beta$)

dan sin$\alpha$ + sin$\beta$ - sin ($\alpha$+$\beta$) = LL
dan: 2 sin ($\alpha$+$\beta$)/2 cos ($\alpha$-$\beta$)/2 - sin$\alpha$cos$\beta$+ cos$\alpha$sin$\beta$
Maar wat dan?

Hartelijk dank

An
3de graad ASO - woensdag 26 januari 2005

Antwoord

$\beta$An,
Bij 1)ben je goed begonnen:uitgaande van de tweede regel en cos(-x)=cosx vinden we dat
2cos(a+b)/2{cos(a-b)/2+cos(a+b+2c)/2}en voor de uitdrukking tussn de accolades kun je weer schrijven:
2cos(a+c)/2 cos(b+c)/2.
2)LL=sin$\alpha$+sin$\beta$-sin($\alpha$+$\beta$)=
sin$\alpha$+sin$\beta$-sin$\alpha$cos$\beta$-cos$\alpha$sin$\beta$=
sin$\alpha$(1-cos$\beta$)+sin$\beta$(1-cos$\alpha$).
Nu is cos$\beta$=1-2sin²$\beta$/2,evenzo voor cos$\alpha$.
sin$\alpha$=2sin$\alpha$/2cos$\alpha$/2.Evenzo sin$\beta$.
Invullen geeft:
4sin$\alpha$/2sin$\beta$/2{cos$\alpha$/2sin$\beta$/2+cos$\beta$/2sin$\alpha$/2} en de uitdrukking tussen accolades is gelijk aan
sin($\alpha$+$\beta$)/2=cos$\gamma$/2.

Succes verder.

kn
donderdag 27 januari 2005

©2001-2024 WisFaq