Complexe vlak
Hallo,
Voor welke reële waarden vazn x en y is (x+yi)3 reël en groter dan 8 .Stel dan de waarden grafisch voor in het complexe vlak.
Graag wat toelichting of oplossing aub.
hl
hl
Ouder - dinsdag 18 januari 2005
Antwoord
Hallo Hendrik,
NB: ik had deze vraag eerst opgelost door gebruik te maken van de goniometrische voorstelling, maar dat is eigenlijk niet nodig. Dat antwoord staat onderaan.
(x+yi)3 = (x3-3xy2) + i(3x2y-y3)
De factor die bij i staat moet nul zijn, dus
ofwel y=0, ofwel 3x2=y2
1. Als y=0 dan (x+yi)3 = x3, dus de oplossingen zijn in dit geval de reele getallen die groter zijn dan 2.
2. Als y2=3x2, dus y=±x$\sqrt{ }$3
Dan (x+yi)3 = x3-3xy2 = x3-3x3x2 = -8x3.
Dit is enkel groter dan 2 wanneer x kleiner is dan -1. De bijhorende y is dan ±x$\sqrt{ }$3.
En dit geeft je dan drie groepen oplossingen, gelegen op drie halfrechten in het complexe vlak, wiens vergelijkingen ik in het vet heb gezet.
-------------
Deze oefening is het eenvoudigst op te lossen door gebruik te maken van de goniometrische voorstelling: elk complex getal kan je voorstellen door r(cos$\theta$+i sin$\theta$). En als je zo een getal tot de derde macht verheft, moet je de r tot de derde verheffen, en de hoek maal drie doen (wordt de formule van de Moivre genoemd).
We krijgen hier dus: r3 (cos(3$\theta$) + i sin(3$\theta$))
Nu heb je twee eisen opgelegd: de derdemacht moet reeel zijn, dus moet de hoek 3$\theta$ een veelvoud van 180 graden zijn. Maar het resultaat moet groter zijn dan 8, dus positief, vandaar dat de hoek 3$\theta$ een veelvoud moet zijn van 360 graden. Dus $\theta$ moet ofwel 0, ofwel 120, ofwel 240 graden zijn. En r3 moet groter dan 8 zijn, dus moet r groter dan 2 zijn.
Antwoord: elk complex getal van de vorm r(cos(k·120)+i sin(k·120)) met r$>$2 en k=0, 1 of 2 voldoet.
Dit kan je dan nog terug omzetten in x+yi-notatie om op de oorspronkelijke vraag te antwoorden, dat wordt:
1. x+yi met x=rcos0 en y=rsin0, met r$>$2, of dus x=r en y=0 met r$>$2
2. x+yi met x=rcos120 en y=rsin120 met r$>$2, of dus x=-r/2 en y=+r$\sqrt{ }$(3)/2 met r$>$2
3. x+yi met x=rcos240 en y=rsin240 met r$>$2, of dus x=-r/2 en y=-r$\sqrt{ }$(3)/2 met r$>$2
Grafisch zie je dan drie halfrechten, die alle drie vertrekken op de cirkel met straal 2 (randpunt niet inbegrepen), de eerste halfrechte gaat naar rechts en ligt dus op de reele rechte, de twee andere halfrechten wijzen in de richting van 120 resp 240 graden.
Groeten,
Christophe.
Christophe
dinsdag 18 januari 2005
©2001-2024 WisFaq
|