Bewijs van een stelling

Na diverse keren mijn huiswerk teruggekregen te hebben, zonder aanwijzingen van hoe het dan wel moet, probeer ik het op deze manier. Ik kom er zelf namelijk niet uit.

Vraag:
Bewijs als lim(a)n = A en lim(b)n = B dan is lim(a)n·(b)n = A·B
(de limieten gaan van n naar ¥)

Begin van het bewijs:
Laat e0 willekeurig. We moeten nu aantonen dat er een NÎ bestaat zodanig dat voor alle nN geldt:
|(an·bn)-(A·B)| e

Om nu verder te gaan zijn er diverse manieren van aanpak. Ik wil wel eens weten wat nu een begrijpelijke uitwerking is om dit bewijs sluitend te maken.

Met vriendelijke groet, Henri Dokter

Henri
Student hbo - zaterdag 15 januari 2005

Antwoord

Henri,
Een bewijs gaat als volgt:
|anbn-AB|=|an(bn-B)+B(an-A)||an||bn-B|+|B||an-A|.

De rij an is convergent. De rij an is dus begrensd.Er is dus een getal M0 zodat voor alle n geldt |an|M.
Stel P=max(M,|B|). Zij nu e0.Dan is ook e/2P0.
liman=A, dus kunnen we bij e/2P vinden een getal N1 zodat voor nN1 geldt:|an-A|e/2P. Omdat limbn=B kunnen we N2 vinden zodat voor nN2 geldt:
|bn-B|e/2P. Is dus n max(N1,N2)dan volgt uit de hierboven gegeven ongelijkheid dat |anbn-AB|P.e/2P+P.e/2P=e.
Hopelijk is het zo duidelijk.

kn
zaterdag 15 januari 2005

Re: Bewijs van een stelling

©2001-2024 WisFaq