Onderlinge stand rechten en vlakken

Hoe bepaal je de onderlinge afstand van het vlak
V: x - y + 2z = 5 en de rechte
D: x + 2y - z = 1 EN y - z = -1
(de snijlijn van de laatste twee vlakken is de rechte).

Heeft het vlak (1,-1,2) als richtingsvector of zit ik helemaal fout? Danku!

Ellen
3de graad ASO - vrijdag 14 januari 2005

Antwoord

Om met de laatste vraag te beginnen.
Nee, de vector (1, -1, 2) is de normaalvector van het vlak. Deze vector staat loodrecht op V.
Als je over de afstand van een lijn en een vlak spreekt moeten beide evenwijdig zijn (waarom?).
Zijn ze dat?
We kiezen twee (willekeurige) punten van de lijn D. Bijvoorbeeld: (1, 1, 2) en (2, 0, 1)
Een richtingsvector van de lijn D is dan (bijvoorbeeld):
(1, 1, 2) - (2, 0, 1) = (-1, 1, 1)
Het inwendig product van (-1, 1, 1) en (1, -1, 2) is
-1·1 + 1·-1 + 1·2 = -1 -1 + 2 = 0
Dus lijn en vlak zijn evenwijdig (waarom?).

Er zijn nu ten minste twee methodes om de afstand te bepalen.

Methode 1
Kies een punt P van de lijn en bepaal dan met behulp van de normaalvergelijking van V de afstand van dat punt tot het vlak.
Normaalvergelijking V: (x - y + 2z - 5)/Ö6 = 0
P = (1, 1, 2)
d(P, V) = |1 - 1 + 2·2 - 5| / Ö6 = 1/Ö6

Methode 2
Bepaal het snijpunt P' van de loodlijn door een punt P van D met het vlak.
Die loodliijn is (we gebruiken de normaalvector van V):
(x, y, z) = (1, 1, 2) + a(1, -1, 2)
zodat voor P' moet gelden (voor zekere a):
x = 1 + a, y = 1 - a, z = 2 + 2a
Maar ook P' ligt in V, dus
(1 + a) - (1 - a) + 2·(2 + 2a) = 5
Dit geeft p = ¹/₆, zodat
P' = (1¹/₆, ⁵/₆, 2²/₆)
Ga na dat inderdaad |PP'| = 1/Ö6.

Overigens, staat een van deze methodes niet ergens beschreven in je boek?

vrijdag 14 januari 2005

©2001-2024 WisFaq