Worteltrekken complexe getallen
De uitleg in mijn boek worteltrekken complexe getallen begrijp ik niet helemaal, zou iemand dit kunnen toelichten?
er staat:
z3=8=e2k$\pi$i zodat z=2.e2/3k$\pi$i = 2·(cos(2/3k$\pi$) + i·sin(2/3k$\pi$), de wortels zijn dus x=2 en x=-1+√3·i en -1-√3·i
en:
z4 = i = e^(o.5$\pi$+2k$\pi$)·j zodat
z=cos($\pi$/8 + o.5k$\pi$) + i·sin($\pi$/8 + o.5k$\pi$)
ik kijk uit naar jullie uitleg
Lennar
Student hbo - woensdag 12 januari 2005
Antwoord
Beste Lennard,
Eerst en vooral even wat over de notatie, er zijn verschillende vormen:
z = x+iy = r(cos$\theta$-isin$\theta$) = r·ei$\theta$
Waarbij r de modulus is (r2=x2+y2) en $\theta$ het argument.
In je eerste oef is er enkel een reëel deel, geen imaginair.
z3 = 8 $\Rightarrow$ r = sqrt(82) is natuurlijk ook 8.
De goniometrische vorm is:
z3 = 8·(cos$\theta$-isin$\theta$) waarvan je weet dat het deel van de cosinus 1 moet zijn (om terug 8 te krijgen) en de sinus 0, want er is geen imaginair deel. $\theta$ is dan 0 (+2k$\pi$)
Dus: z3 = 8(cos(2k$\pi$)+isin2k$\pi$)
Er geldt: zn = n√r·(cos$\theta$/n-isin$\theta$/n)
Dat geeft hier:
z = 2·(cos(2k$\pi$/3)+isin2k$\pi$/3)
Nu hoef je enkel waarden voor k af te gaan (0,1,...,n), hier dus 3 in het totaal:
k = 0 $\Rightarrow$ z1 = 2·(cos0+isin0) = 2
k = 1 $\Rightarrow$ z2 = 2·(cos(2$\pi$/3)+isin(2$\pi$/3)) = -1 + √3i
k = 2 $\Rightarrow$ z3 = 2·(cos(4$\pi$/3)+isin(4$\pi$/3)) = -1 - √3i
In je 2e opgave is de tussenstap van complexe vorm niet nodig, tenzij je je wortels ook wilt uitrekenen in complexe vorm.
Direct naar de goniometrisch vorm dan:
z4 = i = r(cos$\theta$-isin$\theta$) met r = 1 en $\theta$ zó dat dit keer de cosinus wegvalt (je hebt geen imaginair deel) en de sinus 1 wordt $\Rightarrow$ $\theta$ = $\pi$/2 (+2k$\pi$).
Dus: z4 = (cos($\pi$/2 +2k$\pi$)-isin($\pi$/2 +2k$\pi$)) $<\Rightarrow$ z = (cos($\pi$/8 +0.5k$\pi$)-isin($\pi$/8 +0.5k$\pi$)) en dan zijn we er. Nu weer de n waardes voor k afgaan (hier 4: 0,1,2,3) en je hebt de 4 wortels.
mvg,
Tom
woensdag 12 januari 2005
©2001-2024 WisFaq
|