Primitief pythagoreisch drietal

Waarom geldt dat y²=(z-x)(z+x) dat de factoren (z-x)/2 en (z+x)/2 kwadraten zijn. Verder is gegeven dat y² even is, x en z oneneven zijn en dat x en z geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben.

Pieter
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 7 januari 2005

Antwoord

Hallo Pieter,

Een bewijs uit het ongerijmde: stel dat (z-x)/2 geen kwadraat is. Met andere woorden: er bestaat een priemgetal a dat tot een oneven macht voorkomt in de priemontbinding van (z-x)/2.

Dan zal a zeker niet voorkomen in de priemontbinding van (z+x)/2. Want als a daarin zou zitten, dan zou a ook een deler zijn van (z-x)/2 + (z+x)/2 = z, en van (z+x)/2 - (z-x)/2 = x, strijdig met het gegeven dat z en x geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben.

Goed, we hebben nu dus een situatie waarin een priemfactor a tot een oneven macht voorkomt in de ontbinding van (z-x)/2, en niet voorkomt in de ontbinding van (z+x)/2. Dus komt a tot een oneven macht voor in de ontbinding van (z-x)(z+x)/4 = y^2/4, wat dus zou betekenen dat y^2/4 geen kwadraat is. Dit is duidelijk een strijdigheid, dus de veronderstelling dat (z-x)/2 geen kwadraat is, was fout.

Ik hoop dat je de redenering kan volgen,
Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 7 januari 2005

©2001-2024 WisFaq