Ingeschreven cirkels en pythagoreïsche drietallen

In mijn cursus staat volgende oefening: Toon aan dat de straal van de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek met schuine zijde a en rechthoekszijden b en c gelijk is aan 1/2(b+c-a). Bewijs dat deze straal steeds natuurlijk is als de zijden een pythagoreïsch drietal vormen.
Ik heb geprobeerd met 1/2(b+c-a) gelijk te stallen aan 1/2(b+c-wortel van b²+c²). Maar hier geraak ik niet verder mee. Ook als ik werk met gelijke raaklijnstukken en de loodrechte afstand van een rechte tot een punt kom ik er niet.
Ik heb geen idee hoe ik het op een nog andere manier moet aanpakken! tips en hints zijn welkom!

Annele
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 5 januari 2005

Antwoord

Volgens inscribed circle is de straal van de ingeschreven cirkel van een driehoek gelijk aan de oppervlakte gedeeld door de halve omtrek.
In ons geval (rechthoekige driehoek) is de oppervlakte gelijk aan ¹/₂bc.
De halve omtrek is ¹/₂(a+b+c).
Dus de straal van de ingeschreven cirkel is bc/(a+b+c).
We moeten nu aantonen dat in een rechthoekige driehoek ¹/₂(b+c-a) gelijk is aan bc/(a+b+c).
Als je nu a vervangt door √(b²+c²) dan moet je dus aantonen dat:
bc/(b+c+√(b²+c²))=¹/₂(b+c-√(b²+c²))
Lukt dat zo verder?

woensdag 5 januari 2005

©2001-2024 WisFaq