Wat is differentiëren?

Hoe je een functie moet differentiëren is mij helemaal duidelijk. Maar wat doe je nu precies? Wat is precies het idee achter differentiëren?

Alvast bedankt,

Lisa

Lisa
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 16 mei 2002

Antwoord

Het idee is het volgende:

• Het gaat om het bepalen van de steilheid van een grafiek.

Als je een schuine RECHTE lijn hebt, is het niet zo moeilijk om achter de steilheid te komen. Je prikt namelijk 2 willekeurige punten op die lijn en bepaalt het verschil in x-waarde en het verschil in y-waarde ($\Delta$x en $\Delta$y)
De steilheid van deze rechte lijn (ofwel de richtings- coefficient ofwel rico) is $\Delta$y/$\Delta$x

Het wordt pas lastiger wanneer je (bijv.) een parabool hebt. Die verandert namelijk CONTINU van richting. (dit in tegenstelling tot een rechte lijn). De steilheid van een kromme is niet in elk punt hetzelfde.
Als je voor jezelf eens een schetsje maakt van een willekeurige kromme (bijv. een berg-parabool) en je neemt een bepaald punt op die kromme, dan kun je een notie krijgen van de steilheid IN DAT PUNT door daar de raaklijn te tekenen/schetsen. De steilheid van deze raaklijk is hetzelfde als de steilheid van de kromme in dat punt.

De theorie achter differentieren (in een notedop) is, dat een kromme weliswaar continu van richting verandert en dat je daarom eigenlijk niet met $\Delta$y/$\Delta$x mag aankomen. Maar als je nou twee punten pakt die oneindig dicht bij elkaar liggen (en het dus heel knus hebben ;-) ) dat je dan toch wel $\Delta$y/$\Delta$x mag gebruiken. Je stelt dan dat je
twee punten hebt, namelijk (x,f(x)) en (x+h,f(x+h)) met h 'heel klein'. Dus $\Delta$x = (x+h)-x = h, en $\Delta$y = f(x+h)-f(x)
Dus de steilheid in een punt (x,f(x)) = $\Delta$y/$\Delta$x = ^{(f(x+h)-f(x))}/_h met h nadert naar nul.
De reden waarom dit dan wel mag, is dat de grafiek tussen twee punten die HEEL DICHT bij elkaar liggen, zo goed als een rechte lijn is.

Nu even concreet over jouw vraag over differentieren:
Met differentieren bereken je de AFGELEIDE van een functie.
Wat kun je met die afgeleide? Wel, je stopt een x-waarde erin, en je krijgt de STEILHEID van het punt met die x-waarde eruit.
(net zoals je in de gewone functie, x erin stopt en je krijgt de hoogte (y-waarde) eruit).
Het is belangrijk om deze twee dingen niet met elkaar te verwarren.

Voorbeeld.
Stel je hebt de functie f(x)=x² Teken deze eens op ruitjespapier.
het punt (1,1) ligt op de grafiek. Teken eens de raaklijn in dit punt. Welke rico heeft deze raaklijn?
De afgeleide van deze functie is f '(x)=2x
Zoals je weet, stop je de x-waarde erin en krijg je de steilheid eruit.
Vul maar eens de x-waarde van het punt (1,1) in.
f '(1)=2.1 = 2, dus de grafiek heeft rico=2 in het punt waarvan de x-waarde 1 is.
Kortom:
In het punt met x=1 is de hoogte (y-waarde) f(1) = 1
In het punt met x=1 is de steilheid f '(1) = 2

Kom je hier wat verder mee?

Groeten,
Martijn

mg
donderdag 16 mei 2002

Re: Wat is differentiëren?

©2001-2024 WisFaq