Re: Taylor-ontwikkeling

Dit is een reactie op vraag 31251

Hallo

bij de derde heb ik |(3/x)|$<$1 $\Leftrightarrow$ |x|$>$3
Hoe kan ik nagaan in welk gebied de reeks naar f convergeert?
Zou het kunnen dat de convergentiestraal $\infty$ is?

Groeten,

Teddy
Student hbo - zondag 19 december 2004

Antwoord

Ik heb je ongewild op het verkeerde pad gezet. Sorry daarvoor.

Als je mijn eerste redenering volgt, bekom je een zogenaamd negatieve-machten reeks, die enkel convergeert buiten een bepaald interval. Dat staat in contrast met de positieve-machten reeks of Taylorreeks, die enkel convergeert binnen een bepaald interval.

Mijn fout lag in het feit dat ik x/(3+x) op een foute manier heb omgevormd tot een reeks, een manier die aanleiding gaf tot een negatieve-machten reeks ipv een positieve machten-reeks. Verder heb je die oefening trouwens goed opgelost: die negatieve machtenreeks convergeert inderdaad alleen voor |x|3, maar daar zit x=0 niet in, en dat is nu net het punt dat ons interesseert.

Probeer het dus eens met deze reekssom:

x/(3+x)
= x.[1/(3+x)]
= x/3.[1/(1-(-x/3))]

Dit zal de reekssom zijn van een reeks, als tenminste |x/3|1, en deze keer voldoet ons punt x=0 daar wel aan, dus we zitten goed.

Mijn fout geeft je trouwens een leuk inzicht: je kan een functie (hier x/(3+x)) soms op meerdere manieren bekijken als een reekssom.

zondag 19 december 2004

©2001-2024 WisFaq