Keuze-axioma

In mijn dictaat wordt ik geconfronteerd met hetvolgende probleem, dat nog niemand me heeft kunnen uitleggen. Ik hoop dat jullie me uit mijn lijden willen verlossen.

Stelling: Als X een oneindige verzameling is, dan is er een injectieve functie $\to$X

Intuïtief snap ik dat je hiervoor het keuze-axioma nodig hebt. De versie die hier wordt gebruikt gaat uit dat een surjectieve functie f:X$\to$Y een sectie s:Y$\to$X heeft, zodanig dat f(s(y))=y ('y in Y)
...
Goed, vervolgens wordt uitgegaan van A als verzameling van rijen (sequence) van elementen uit X (x₁,...x_n) en B=AÈ{·}, met · een element niet in A.
Daarna wordt gedefinieerd: f:A$\to$B, met f((x₁))=·, f((x₁,...,x_n+1))=(x₁,...,x_n).
Omdat f surjectief is heeft het een sectie. Deze sectie staat toe om een functie g:$\to$X te definiëren door inductie: g(0)=x₀, met (x₀)=· en g(n+1)=x_n+1 zodanig dat s((g(0),...,(g(n)))=(x₀,...,x_n+1)

Waarom heb ik die sectie nodig om g te mogen definiëren?
Waarom wordt het element · geïntroduceerd?

Snappen jullie het? Alvast bedankt!

Leonar
Student universiteit - donderdag 16 december 2004

Antwoord

Het bewijs dat je citeert formaliseert de volgende constructie van g: kies x₀ in X; omdat X niet eindig is zijn er nog meer punten in X, kies dus x₁ in X ongelijk aan x₀; er zijn nog punten over in X, kies dus x₂ in X ongelijk aan x₀ en x₁; er zijn nog meer punten in X, kies dus x₃ in X ongelijk aan x₀, x₁ en x₂; ...
Wat hier, formeel, nog mis mee is is dat je per stap weer kijkt wat je moet doen, op die manier is de constructie (formeel gezien) nooit af. Om in één keer een hele functie te definieren moet je in feite van te voren al zeggen wat je in elke mogelijke situatie zult doen. Daar is die sectie voor, waarbij we van A wel veronderstellen dat hij uit alle eindige injectieve rijtjes bestaat.
De functie f kapt van elk rijtje de laatste term af; bij een rijtje met één term hou je dan niks over, daarom is · even ingevoerd. De sectie s voor f geeft nu een ondubbelzinnig recept om in één keer alle waarden van g vast te leggen; waarschijnlijk wordt in het dictaat nog aan het recursieprincipe gerefereerd om het bewijs helemaal rond te krijgen.
Dit bewijs is subtieler dan men in het begin denkt en het is niet erg dat je het niet ineens snapt - ik denk dat het mettertijd wel duidelijk zal worden.

kphart
vrijdag 17 december 2004

©2001-2024 WisFaq