Volkomen getallen

Hallo,

Volkomen getallen zijn te construeren met (2ⁿ-1)·(2^n-1).
Op internet staan vele bewijzen waar dus ook daadwerkelijk deze eerste factor, 2ⁿ-1, wordt bewezen, maar de tweede factor wordt niet bewezen. Deze wordt alleen aangetoond met getallenvoorbeelden. Mijn vraag is ook heel simpel: is deze tweede factor, 2^n-1, bewijsbaar(in plaats van aantoonbaar)?

Sanjay
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 december 2004

Antwoord

De factor 2^n-1 hoef je niet te bewijzen, want het is het gevolg van de veronderstelling dat je een even volkomen getal zoekt. Oneven volkomen getallen zijn, tot op heden, onbekend.
Omdat je dus uitgaat van een even getal, zit er minstens één factor 2 in. Om die reden kun je het getal direct de vorm 2^n-1.m geven, waarbij m dan een oneven getal voorstelt.
Vanaf dit startpunt steekt men dan een redenering af die laat zien dat m = 2ⁿ-1.
Die redenering is helaas niet zo simpel; er wordt gebruik gemaakt van bepaalde eigenschappen van het aantal delers dat een getal heeft.

MBL
donderdag 16 december 2004

©2001-2024 WisFaq