Bewijs, 4 niet coplanaire punten

Er wordt in het boek een bewijs gevraagd van 'punten evenver van 4 niet-coplainaire punten'.

Beschouw 4 punten A B C D die niet in eenzelfde vlak liggen.
Alle punten die even ver van A en D gelegen zijn behoren tot het middelloodvlak $\alpha$ van [AD].

Alle punten die zich even ver van A B C bevinden liggen op de rechte p. Hoe teken je deze rechte?

Er is een tekening bij, een vlak waarin A B C gelegen
zijn, een 2e vlak $\alpha$ waarin M ligt.Een recht vanuit het eerste vlak door het 2e vlak($\alpha$) aan het einde van deze rechte ligt het punt D, de afstand van Punt A tot het snijpunt met het vlak $\alpha$ is gelijk aan de afstand van dit snijpunt met vlak alfa tot punt D.

Vanuit M is er een rechte p die het vlak(ABC) snijdt
vanuit dit snijpunt is de afstand van 'snijpunt tot A gelijk aan de afstand van het snijpunt tot C en hetzelfde tot B. Punt A ligt links bover op het hoekpunt in vlak $\alpha$, Punt C ligt op dezelfde recht en punt B aan de overkant.
Ik hoop dat ik de tekening een beetje duidelijk heb gemaakt.
Ik zie niet goed hoe dit te bewijzen, het komt het stuk 'afstanden en hoeken'.

winny
3de graad ASO - zondag 12 december 2004

Antwoord

Helemaal zeker van hetgeen je vraagt ben ik niet, maar wellicht kun je met het volgende antwoord verder.

Elk punt van lijn p ligt even ver af van A, B en C.
Elk punt in het middelloodvlak van AD ligt even ver van de punten A en D. Als nu M het snijpunt is van lijn p en het middelloodvlak, dan ligt M dús even ver af van A, B en C en ook even ver van A en D en dús ligt M even ver af van A, B, C en D. Daarmee kun je M beschouwen als het centrum van de bol door de 4 punten A, B, C en D.

De rechte p is de zogenaamde as van driehoek ABC en je kunt hem vinden door twee middelloodvlakken met elkaar te snijden. Je kunt daarvoor bijv. de middelloodvlakken van AB en AC nemen.

MBL
zondag 12 december 2004

©2001-2024 WisFaq