Verloop van functies

Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad die voor x = 1 een raaklijn heeft met richtingscoëfficient -4 , voor x = 5 een relatief extremum bereikt, voor x = 8/3 een buigpunt heeft en bovendien 0 als nulpunt heeft.

Maarte
3de graad ASO - dinsdag 23 november 2004

Antwoord

de veeltermfunctie is van de vorm
f:x $\to$ ax³+bx²+cx+d
Dat zijn dus 4 vrijheidsgraden die dus 4 onafhankelijke voorwaarden vereisen.

Beginnen we bij de voorwaarden achteraan.
1)0 is een nulpunt: f(0)=0 $\Rightarrow$ d=0

2)x=1 raaklijn met rico -4
$\Rightarrow$ f'(1)=-4
(f':x$\to$3ax²+2bx+c de afgeleide van f)
$\Rightarrow$ f'(1)=3a+2b+c=-4

3)extremum bij x=5
$\Rightarrow$ f'(5)=0
$\Rightarrow$ 3a·25+2b₅+c=0
$\Rightarrow$75a+10b+c=0

4)buigpunt bij x=8/3
$\Rightarrow$ tweede afgeleide=0
(f':x$\to$6ax+2b)
f'(8/3)=16a+2b=0


We hebben dus 4 voorwaarden, nl:
d=0
3a+2b+c=-4
75a+10b+c=0
16a+2b=0

Als je dit stelseltje oplost krijg je:

d=0, b=-4, c=5/2, a=1/2

Dus het resultaat is
f:x$\to$x³/2-4x²+5x/2

En die ziet er zo uit:

dinsdag 23 november 2004

©2001-2024 WisFaq