Bewijs afstandsformule

Hallo,
Ik zit hier met een probleempje: ik kan onderstaande afstandsformule maar niet bewijzen, ik heb al vanalles geprobeerd, doch tevergeefs. Ik heb deze site ook helemaal afgezocht, maar ik heb ook hier nergens het bewijs van de afstandsformule teruggevonden.
De formule ziet er als volgt uit:

(Geg: P (x₁ , y₁ , z₁ ) en vlak : Ax + By + Cz + D = 0)

d(P,vlak) = abs(Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D) / wrtl(A²+B²+C²)

Ik heb een hele tijd liggen zoeken hoe men aan deze formule geraakt is, maar ik geraak er maar niet uit. Zou u mij misschien verder willen helpen, a.u.b.?
Heel erg bedankt,

Khalid
Student hbo - maandag 1 november 2004

Antwoord

Dag Khalid,
Staat het bewijs van die formule niet ergens in een leerboek?

Voor het gemak schrijf ik P(a,b,c).
We weten dat een normaalvector van het vlak gelijk is aan (A,B,C)
Dus de projecterende lijn van P op het vlak (snijdend in P') heeft als vectorvergelijking:
(x,y,z) = (a,b,c) + q(A,B,C)
Voor zekere q vinden we dus P' (q = 0 geeft P).
P' heeft de coördinaten: (a+qA, b+qB, c+qC).
De afstand d = |PP'| is gelijk aan (volgens de ruimtelijke stelling van Pythagoras):

d = √(q²A² + q²B² + q²C²) = |q|·√(A² + B² + C²) ......(·)

Nu q nog uitdrukken in A, B, C, a, b, c.
Dat doen we door de coördinaten van P' te bepalen.
P' in het vlak, dus
A(a+qA) + B(b+qB) + C(c+qC) + D = 0
zodat
q(A² + B² + C²) = -(Aa + Bb + Cc + D)
Vullen we de hieruit volgende uitdrukking voor q in de vergelijking (·) in, dan vinden we (bijna onmiddellijk):

d = |Aa + Bb + Cc +D| / √(A² + B² + C²)

maandag 1 november 2004

©2001-2024 WisFaq