De regelmatige vijfhoek

Wij moeten voor een p.o van wiskunde deze hele moeilijke vraag beantwoorden. Kan iemand dit misschien uitleggen.

Je hebt een regelmatige vijfhoek.
De vraag: toon d.m.v berekingen aan dat hoek B door de diagonalen in 3 gelijke hoeken van 36 word verdeeld.

(In de regelmatige vijfhoek heb je de hoeken A t/m E.)

En: toon d.m.v berekeningen aan dat binnen een regelmatige vijfhoek elk paar diagonalen erlkaar verdeelt volgens de gulden snede, waarbij het grootste stuk weer gelijk is aan de zijde van de vijfhoek. Dan moet je voor de berekeningen de zijde van de vijfhoek gelijk aan 1cm.

Hoe moet je dit dan berekenen???

Patty
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 1 november 2004

Antwoord

Ga er liever eerst van uit dat de straal van de cirkel waar de hoekpunten op liggen 1 is, ipv de zijde van de vijfhoek. Dat komt er op neer dat je de vijfhoek wat kleiner maakt. Voor de gevraagde hoeken maakt dat niet uit. Voor de gevraagde verhoudingen van de lengten van lijnstukken maakt dat ook niet uit (omdat ze allemaal met dezelfde factor verkleind worden).

Je kunt dan de punten coördinaten geven als volgt:

A:(1,0)
B:(cos(2$\pi$/5),sin(2$\pi$/5))
C:(cos(4$\pi$/5),sin(4$\pi$/5))=(-cos($\pi$/5),sin($\pi$/5))
D:(cos(6$\pi$/5),sin(6$\pi$/5))=(-cos($\pi$/5),-sin($\pi$/5))
E:(cos(8$\pi$/5),sin(8$\pi$/5))=(cos(2$\pi$/5),-sin(2$\pi$/5))

De vraag over de hoeken is eenvoudig als volgt te beantwoorden: maak een schets van de vijfhoek met diagonalen CE, BD en BE; gebruik dat elk der hoeken van de vijfhoek 108 graden is; gebruik dat de driehoeken BCD en BAE gelijkbenig zijn, zodat de basishoeken van die driehoeken gelijk zijn aan (180-108)/2=36 graden.

Als nu BD en CE elkaar snijden in S, dan zijn de driehoeken CSD en BSE vanwege symmetrie gelijkvormig met gelijkvormigheidsfactor BE/CD=sin(2$\pi$/5)/sin($\pi$/5)=2cos($\pi$/5)=BS/CS=ES/CS. Je kunt ook de hoeken bij S en C eenvoudig vanuit de figuur bepalen, en daardoor inzien dat driehoek BSC gelijkbenig is met BS=BC.

Het getal x=2cos($\pi$/5) is oplossing van de gulden-snede-formule x²=x+1.

maandag 1 november 2004

©2001-2024 WisFaq