Re: Gehele getallen van Gauss

Dit is een reactie op vraag 28546

Hoi Christophe,

Ik heb nog enkele vragen.

1. Wat is eigenlijk een priemelement in Z[i]? Maak je dan gebruik van de volgende definitie,

Een priemelement in en domein R is een element p ongelijk aan 0 dat geen eenheid is en voldoet aan de priemeigsch
p|xy - p|x of p|y.

2.Ik begrijp niet goed wat het betekent als a in Z[i] niet priem is.Daarom begrijp ik niet goed waarom geldt,

"a is niet priem in Z[i].Dus a=(k+li)(m+ni) met k,l,m,n geheel. En noch k+li, noch m+ni is een eenheid."

Heeft het misschien iets te maken met het volgende:
Z[i] is een hoofideaaldomein, dus ieder element x ongelijk aan 0 is te schrijven als een product x=u*p1*...*pt van een eenheid u en eindig veel irreducibele elementen.Omdat ieder irr element in een hoofdideaaldomein priem is geldt nu dat ieder element x in Z[i] ontbonden kan worden in een product van priemelementen.
Ik dacht hieruit af te kunnen leiden wat het betekent als a niet priem is maar dat lukt niet.

3.Als P='N(a) niet priem in Z en Q='a niet priem in Z[i]'
Dan heb je als ik het goed begrepen heb bij 'vertek naar rechts' bewezen dat: Als Q, dan P. En dat is equivalent met Als niet P dan niet Q, dus dat is de uitspraak;Als N(a) priem in Z, dan is a priem in Z[i].
En het omgekeerde geldt dus niet, dat is met het tegenvoorbeeld bewezen.
Is dit allemaal correct?

4.Over de conclusie in het bewijs.
Maar N(a) mag geen eenheid zijn, moet er dus ook niet geïst worden dat m en n niet allebei gelijk zijn aan 1 of -1?


Groeten, Viky

viky
Student hbo - vrijdag 22 oktober 2004

Antwoord

Hallo Viky,

1. Dat is inderdaad de definitie, nu komt dat voor [i ] wel op hetzelfde neer als: een getal a+bi is priem als het geen eenheid is (1,-1,i,-i), en er geen echte delers zijn (dus delers die geen eenheid zijn, of die niet op een eenheid na gelijk zijn aan a+bi)

2. Inderdaad: je hebt drie soorten elementen, namelijk
de eenheden 1,-1,i,-i;
de priemen die dus van de vorm u*p zijn;
de niet-priemen die ook geen eenheid zijn.
Die laatste categorie is dus niet gelijk aan u, en niet gelijk aan u*p1, dus moet zo een element (volgens die regel die je zelf opgaf) gelijk zijn aan u*p1*...*pt met t minstens 2. Vandaar die uitspraak "a is niet priem... eenheid"

3. Dat klopt. Al geldt het omgekeerde wel bijna altijd, alleen niet voor een a die priem is in en die 3mod4 is. Dus voor a=3,7,11,19,23,31,43,... en diezelfde getallen maal i of -i of -1. N(a) zal dan altijd a² zijn. Voor alle andere Gaussische gehelen klopt die richting (als P dan Q) ook.

4. Ja dat kon er nog bij, maar het hoeft niet: je wil bewijzen dat als a priem is en a en a' zijn niet geassocieerd dan N(a) priem. Kan dan N(a)=mn met m,n allebei 1 of -1? Dan zou N(a)=1 of -1, dat kan enkel komen van a=1,-1,i of -i, dus nooit van een priem a. Dus je had gelijk dat het er bij mocht, maar het zal zich nooit voordoen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 22 oktober 2004

©2001-2024 WisFaq