Maximale oppervlakte rechthoek in ruit

Op elk van de zijden van een ruit waarvan de lengte van de diagonalen 6 en 8 zijn, nemen we een punt zodat de verkregen 4 punten de hoekpunten zijn van een rechthoek waarvan de zijde // zijn met de diagonalen van de ruit.
Bereken de afmetingen van de rechthoek zodat zijn oppervlakte een maximum bereikt.

julie
2de graad ASO - woensdag 13 oktober 2004

Antwoord

Hieronder een mogelijke aanpak (ik zeg niet dat dat de enig mogelijke aanpak is)

In onderstaand plaatje heb ik de ruit ABCD in een assenstelsel getekend.
Ik heb een mogelijke rechthoek PQRS erin getekend.


De rechthoek PQRS bestaat uit 4 kleinere congruente rechthoeken.
De zijde AB ligt op de lijn met vergelijking y=-³/₄x+3.
Als de x-coordinaat van P gelijk is aan x, dan is de y-coordinaat van P gelijk aan -³/₄x+3.
Voor het kleine rechthoekje waar P een hoekpunt van is geldt dat de oppervlakte gelijk is aan x×(-³/₄x+3)=-³/₄x²+3x.
De oppervlakte van de hele rechthoek is dus O=-3x²+12x.
We willen nu weten wanneer O=-3x²+12x maximaal is.
Omdat O een kwadratische functie is met nulpunten 0 en 4 wordt het maximum bereikt voor x=2.
De bijbehorende y-coordinaat van P is dus -³/₄×2+3=1¹/₂.
De afmetingen van de rechthoek PQRS zijn dus 4 bij 3.

woensdag 13 oktober 2004

©2001-2024 WisFaq