Basis en (on)afhankelijkheid

Hoi Wisfaq,

Hopelijk hebben jullie even tijd voor volgende vraag:

Laat ons een stelsel vectoren nemen e1,...,en. Nu weet ik dat deze vectoren een basis hebben als e1..en een lineair onfhankelijk stelsel is (dus volgens mij als alle coefficienten van de vectoren = 0) .. maar waarom moet dit stelsel onafhankelijk zijn.
Kan u dit duiden met volgende vectoren (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ..

In deze basis van V moet ook elke vector v ÏV lineair afhankelijk zijn van e1,..,en. (Dus volgens mij als minstens 1 coefficient ¹0 ®nulvector)
Maar waarom moeten deze Lineair afhankelijk zijn.

Stop nu dit stelsel vectoren in een Matrix A:

Hoe kan men dan zien dat een rij of kolom lineair onafhankelijk is om de rang te bepalen?

Hartelijk dank bij voorbaat,

Jos
Iets anders - woensdag 6 oktober 2004

Antwoord

Definitie: Een vectorruimte V heeft dimensie n indien er precies n lineair onafhankelijke vectoren e1,....,en bestaan die V opspannen. In dat geval heet de set {e1,e2,....en} een basis.

Nu volgen de antwoorden op je vragen rechtstreeks uit de definitie van een basis.
1) wanneer het stelsel afhankelijk is dan is er een onafhankelijke basis te vinden met minstens een basisvector minder en dat is in tegenstelling met de dimensie n
2) elke andere vector in vectorruimte is afhankelijk van de basisvectoren want als dat niet zo zou zijn dan heb je een onafhankelijke set van n+1 vectoren hetgeen weer in tegenspraak is met de dimensie n. Coefficienten 0 hebben daar niets mee te maken.

Onafhankelijkheid in een matrix kun je bepalen door te vegen of de determinant uit te rekenen. Dat moet je in de theorie nog maar eens nazoeken.

Met vriendelijke groet

JaDeX

donderdag 7 oktober 2004

©2001-2024 WisFaq