Wat is een groep?

Kunnen jullie uitleggen wat een groep nu precies is en inhoudt?

loes
Leerling mbo - vrijdag 1 oktober 2004

Antwoord

Eerst een voorbeeld, want het groepsbegrip is in feite een veralgemenisering van o.a. dit voorbeeld.

Neem eens de verzameling V van alle positieve breuken en kijk daarna eens naar de gewone, bekende vermenigvuldiging die daarbinnen bestaat.
Die vermenigvuldiging voldoet aan een aantal simpele basisregels die iedereen in feite wel kent, namelijk:
1) het product van twee positieve breuken is opnieuw een positieve breuk. Dit betekent niets meer dan dat je met de vermenigvuldiging binnen verzameling V blijft.
2) De vermenigvuldiging voldoet aan de haakjeseigenschap, ook wel de associatieve eigenschap genoemd. Als a, b en c een drietal positieve breuken voorstelt, dan geldt (a.b).c = a.(b.c)
3) In V bevindt zich een zogenaamd neutraal getal e waarvoor geldt dat e.a = a.e = a. Het bedoelde neutrale getal is natuurlijk het getal 1. Men spreekt doorgaans over het eenheidselement, vandaar de letter e.
4) Bij elk getal a in V kun je een getal b in V vinden zodanig dat a.b = e = 1. Neem je bijvoorbeeld a = 4/7, dan neem je b = 7/4 en inderdaad is 4/7 . 7/4 = 1

Tot zover dit voorbeeld.
Nu is gebleken dat deze situatie vrij algemeen voorkomt.
In de wiskunde worden heel vaak verzamelingen bestudeerd waarbinnen een of andere bewerking bestaat. Gemakshalve wordt die bewerking dan ook maar meteen 'vermenigvuldigen' genoemd. Als die 'vermenigvuldiging' zich nu houdt aan precies dezelfde spelregels als in het voorbeeld, dan wordt de verzameling een groep genoemd ten aanzien van die 'vermenigvuldiging'.

Nu nog eventjes formeel: een groep is een verzameling V waarbinnen de een of andere bewerking (laten we hem aanduiden met *) is gedefinieerd, waarmee uit elk tweetal elementen van de verzameling één ander element van dezelfde verzameling wordt bepaald.
Deze bewerking moet associatief zijn, wat betekent dat
(a*b)*c = a*(b*c) en bovendien moet er in de verzameling een element e te vinden zijn waarvoor geldt dat e*a = a*e = a, welke a je ook genomen hebt.
En ten slotte moet je bij elke keuze van een element a een element b kunnen vinden waarvoor geldt dat a*b=e

MBL
vrijdag 1 oktober 2004

©2001-2024 WisFaq