Re: Re: Wat voor soort getal is x met x^x=10

Dit is een reactie op vraag 27468

hallo Christophe,

ik wilde nog even terug komen op die negatieve x waarden
bij de grafiek van y=x^x
ik heb namelijk ondekt dat tussen -1 en nul niets verschilt
met tussen -2 en -1 of -3 en -2 of voor welke negatieve x waarde ook.
f(-10,2) wordt complex maar dat komt omdat -101/10
een even noemer heeft
bij f(-10,2)= -5,155588522 . 10^-11 heb je daar geen last van want 102/10=51/5 is een oneven noemer
zo lukt f(-1/2) dus ook niet maar f(-1/3)=-1,44224957
f(-2/3)=1,310370697 wel.
zo geven steeds de even tellers positieve waarden
en de oneven tellers negatieve waarden.
dus als je tussen nul en -1 nu bv f(-1/9)t/m f(-8/9)
uitrekent krijg je wel reeele waarden
(-1 is eigenlijk -9/9 oneven teller -2=18/9 even teller)
die negenden zou je weer op kunnen delen in zevenentwintigsten die weer in eenentachtigsten etc..
oneindig veel reele waarden kan je zo berekenen op de getallen lijn
als je maar oneven noemers kiest.
boven de x-as de grafiek even gedeeld door oneven
onder de x-as de grafiek oneven gedeeld door oneven
aangezien je steeds weer een breuk met oneven noemer
ertussen kunt nemen en de grafiek tussen de waarden nooit nul wordt krijg je dan uit eindelijk niet gewoon een continue functie? behalve in punt (0,1)
(de grafiek lijkt in eerste instantie heen en weer te springen maar is dit wel zo? aangezien er niets tussen die waarden boven en onder de x-as is)
[hoe het dan met de even breuken zit weet ik niet precies
bestaan die complexxe getallen echt of moet je zo gewoon niet kiezen?(om reele waarden te vinden voor de grafiek)]

groetjes ruben

ps met -8=(-2)³=(-2)⁶/2=√((-2)⁶)=√(64)=8
lukt het ook ,wel grappig
als je de reken regels volgt lijkt het te kloppen
maar ergens heb je het gevoel dat het toch niet
zou moeten mogen.

ruben
Iets anders - vrijdag 17 september 2004

Antwoord

Hallo Ruben,

Die redenering met even/oneven tellers/noemers had ik ook ongeveer in gedachten. Die regel met die -8=8 lijkt inderdaad een paradox aan te duiden, maar wat je daar doet is eigenlijk niks anders dan een resultaat kwadrateren, en daaruit dan de wortel trekken. Niet verwonderlijk dat je dan tegenstrijdigheden krijgt, dat mag je met geen enkel negatief getal doen...

Waar je wel fout zit, is met de conclusie dat je oneindig veel rationale getallen kan vinden waarvoor het beeld negatief en braaf is, DUS dat de functie continu is. Denk eens aan de volgende functie:

f(x)=1 als x$\in\mathbf{Q}$; f(x)=0 als x$\in\mathbf{R}$ \ $\mathbf{Q}$
In die functie heb je zelfs dat alle rationale getallen op één schijnbaar continue lijn liggen, al is de functie zelf absoluut niet continu. In het x^x-voorbeeld heb je zelfs maar dat een bepaalde deelklasse van de rationale getallen zo een lijn vormt.

Je kan trouwens echt niet om die complexe getallen heen hoor: alle breuken 'oneven/even' geven zuiver complexe resultaten, reken maar na... En dat is ook een oneindige klasse, die ga je toch niet zomaar negeren?

Samengevat heb je dus, alleen al binnen de rationale x-waarden, drie oneindige klassen, namelijk de even/oneven, die positieve reële resultaten geven; de oneven/oneven, die negatieve reële resultaten geven; en de oneven/even, die zuiver complexe resultaten geven... Bovendien ligt een willekeurig punt uit één van die drie klassen, willekeurig dicht bij punten uit de twee andere klassen. Dit impliceert dat er van continuïteit geen sprake kan zijn (lees de epsilon-delta-definitie er hier maar eens op na).

En dan hebben we het probleem van de irrationale waarden nog niet eens besproken... Je kan dat niet aanpakken als limiet: stel dat je de waarde in -$\pi$ wil berekenen, dan kan je een rij van breuken even/oneven construeren die naar -$\pi$ convergeert, en daaruit kan je dan concluderen dat het beeld positief is. Maar je kan net zo goed een rij van oneven/oneven breuken maken, of oneven/even. Je kan dus geen eenduidige conclusie trekken en hebt een andere methode nodig.

Mijn GR geeft als beeld van -$\pi$ overigens:
-.0274+.0118i
En de absolute waarde hiervan is .02743, exact hetzelfde als wat $\pi$^(-$\pi$) is. Vermits x^-x continu is voor positieve x, kan je daaruit besluiten dat de functie y=|x^x| wel continu (en natuurlijk positief) is.

Je kan x^x dus eigenlijk driedimensionaal voorstellen voor negatieve x: kies de x-waarden op de x-as, en voor het beeld gebruik je de y-as als reële as, en de z-as als complexe as. Dan zal je zien dat de functiewaarden een y- en een z-component hebben, maar dat de y²+z² wel continu varieert, maw als je een cilinder (nuja, eerder een kegelachtige figuur) tekent waarbij je ipv (y,z), y²+z² aanduidt, krijg je een heel mooi continu 3d-figuurtje. En dan zal je er vrede mee moeten nemen dat de y- en z-waarden irritant discontinu over en weer springen op die 'kegel'mantel...

Ik hoop dat het toch een beetje duidelijk was

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 18 september 2004

Re: Re: Re: Wat voor soort getal is x met xx=10

©2001-2024 WisFaq