Een regelmatig zeszijdig open prisma

Gegeven: cirkel met d=2R waaruit regelmatige zeshoek moet gesneden worden maar niet de volledige cirkel mag gebruikt worden maar enkel een centraal gedeelte van de cirkel. Zodat er aan elke zijde van de zeshoek nog een rechthoek kan gesneden worden dat naar boven kan geklapt worden.
Zo bekom je een regelmatig zeszijdig open prisma.
r is de straal van de kleine cirkel dus van middelpunt tot hoekpunt van de zeshoek.
R is de straal van de volledige grote cirkel

·· Bepaal de oppervlakte van het grondvlak ifv r

Volgens mij is de opp van de zeshoek gelijk aan 6 keer de oppervlakte van de zes gelijkzijdige driehoekjes waaruit de zeshoek bestaat en

basis=r
hoogte= √( r²-r²/4)= r/2√3
3√3r²/2 = opp 6-hoek

·· Bepaal de oppervlakte van het deel van de grote cirkel dat niet gebruikt wordt ifv r.

Ik dacht aan het volgende:
Je neemt zo'n driehoekje van de zeshoek en trekt deze volledige door zodat je een grote gelijkzijdige driehoek bekomt met zijde R. We nemen niet alleen de driehoek maar de volledige cirkelsector .
We weten dat de hoeken van een gelijkzijdige driehoek =60° = $\pi$/3

Dit cirkelsector= 1/2.R².$\pi$/3
Van dit oppervlakte moeten we het kleine driehoekje van de centrale zeshoek en het daaraan verbonden rechthoekje aftekken én de functie schrijven ifv r.
Het rechthoekje: lengte=r en stel breedte=x

Het volledig verloren gegane deel:

=[ 1/2R².$\pi$/3- [3√3r²]/2 - x.r ].6

Maar dan zit ik nog met die x? Wat nu gezongen?

··· Bepaal de functie I(r) die de inhoud geeft van het gevormde lichaam.

Hoe kan ik dit oplossen?

Kan iemand me uit de nood helpen?

Sabine
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 11 september 2004

Antwoord

Het eerste stuk gaat goed. Bij de 'overgebleven oppervlakte' doe je een beetje moeilijk. Je kunt beter de oppervlakte van rechthoeken ook uitdrukken in r en R en dan alles van de oppervlakte van de cirkel aftrekken.

Ik dacht meer aan deze oplossing:

Eerst maar eens een tekening:



Om maar eens wat anders te doen gebruik ik de formule van Oppervlakte regelmatige n-hoek:



Dat levert de oppervlakte van het grondvlak. Maar dat had je zelf ook al gevonden. De zijde van deze zeshoek is hetzelfde als de straal r.

De oppervlakte van de zes rechthoeken is dus 6·r·(R-r)=6Rr-6r²
De oppervlakte van de cirkel is pR²
De formule voor de oppervlakte die over blijft wordt dan:



De laatste vraag is dan een formule voor de inhoud. Welnu met Opp=G·h krijg je:



..en dan heb ik toch alles gedaan... Hopelijk heb je er iets aan.

zondag 12 september 2004

©2001-2024 WisFaq