Afstand van een punt tot een vlak in 3D

Gegeven: de coordinaten van drie punten A,B,C in een vlak:
A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₃), C(x₃,y₃,z₃) en een vierde punt D niet tot het vlak behorend: D(x₄,y₄,z₄).
Gevraagd: lengte loodlijn vanuit D tot vlak ABC.
Liefst algemene formule.
Praktijktoepassing: met laser wordt een vlak op 3 punten bepaald, het vierde punt mag tot het vlak gerekend worden als de afstandd het binnen een bepaalde marge valt.
Bij voorbaat dank voor een eventuele reactie.

Roland
Iets anders - zondag 14 april 2002

Antwoord

De afstandsformule die je vraag beantwoordt zit als volgt in elkaar:

1. stel van het vlak een vergelijking op, op nul herleid
   
2. vul in het linkerlid de coördinaten van punt D in, met weglating van het rechterlid (dus geen 0 meer erachter zetten). Het doet niet ter zake of D wel of niet in het vlak ligt. Er komt gewoon 0 uit als D erin blijkt te liggen.
   
3. als het resultaat van punt 2 negatief is, neem dan de absolute waarde ervan.
   
4. deel dit getal door de lengte van de normaalvector van het vlak.

Een voorbeeld ter illustratie:

Laat vlak V gegeven zijn door 2x - 3y + 5z - 11 = 0
De normaalvector is dan (2,-3,5) met lengte √38

(indien niet bekend: een normaalvector is een vector loodrecht op het vlak en de kentallen ervan zijn de coëfficiënten van de x, de y en de z).

Stel D = (-2,7,-1)

Nu geldt: d(D,V) = |2.-2 + -3.7 + 5.-1 - 11|/√38

Uitwerking geeft 41/√38

MBL
zondag 14 april 2002

©2001-2024 WisFaq