Propositie 5 van de Elementen van Euclides

Beste mede beantwoorder,
Als hobby wiskunde weer eens een idee om cabri figuren bij de elementen te maken en zodoende de geometrie weer eens door te nemen.
Ik stuitte echter op iets merkwaardigs.

Propositie 5:
In iscosceles triangles the angles at the base are equal to one another, and if the equal straight lines be produced further, the angles under the base will be equal to one another.

Let ABC be an isosceles triangle having the side AB equal to the side AC;
and let the straight lines BD, CE be produced further in a straight line with AB, AC [Post. 2]

Merk hier op dat BD niet perse even lang hoeft te zijn als CE.

I say that the angle ABC is equal to the angle ACB, and the angle CBD to the angle BCE.
Let a point F be taken at random on BD;
from AE the greater let AG be cut off equal to AF the less; [1.3]

Maar sinds het mogelijk is voor AD AE is het ook mogelijk dat AF AE en dus AG niet geconstrueerd kan worden.

Het is een kleinigheidje, maar toch juist in de Elementen zou deze vergissing niet mogen, of zie ik iets over het hoofd?

M.v.g.
Peter Stikker

peter
Docent - dinsdag 6 juli 2004

Antwoord

Beste Peter,

De beste vertaling van "from AE the greater let AG be cut off equal to AF the less" (of eigenlijk van het Griekse origineel) is "Snij van AE, de grotere, AG af gelijk aan AF, de kleinere".

AE is dus de grotere, en AF de kleinere.

Er zit hier wel degelijk de veronderstelling in dat AEAF. Strikt genomen niet noodzakelijk waar. Het doet allemaal een beetje geforceerd aan om die punten F en G te zoeken die leveren dat AF=AG. Je zou immers gewoon AB en AC kunnen verdubbelen, een eitje met de passer.

Eigenlijk heb je gelijk Peter, dat de constructie door slechte keuze van punten onmogelijk kan worden (temeer daar Euclides altijd met lijnstukken werkt). Euclides had er voor de zekerheid dus ook een plaatje bij gezet.

Alle rompslomp is natuurlijk te voorkomen door te veronderstellen, zonder de algemeenheid te verliezen, dat ADAE.

Slordig foutje wel, voor zo'n standaardwerk!!

dinsdag 13 juli 2004

©2001-2024 WisFaq