Sinterklaas lootjes trekken
Onlangs trokken wij met de familie (7 personen) lootjes voor de Sinterklaas surprises van 2004. Op elk lot stond een naam van één van de personen: in totaal 7 lootjes met 7 verschillende namen. Bij het trekken mocht je niet jezelf trekken, want het is niet de bedoeling om een surprise voor jezelf te maken. We moesten de trekkingsprocedure in totaal 4 keer doen voordat we allemaal een lootje hadden met niet onze eigen naam erop. Daarna raakten we aan de praat over de kans op een trekking waarin één of meer personen zichzelf trokken. Hoe waarschijnlijk was onze ervaring van eerst 3 mislukte trekkingen voor de goede 4e trekking? En hoe zit het met de grootte van het gezelschap? Wij waren met 7 personen, maar hoe zit het bij gezelschappen van bijvoorbeeld 4 of 20 personen, heeft dat invloed op de kans om jezelf te trekken? Zo ja, wordt die kans groter of kleiner naarmate het gezelschap groter is?
Ik heb hier eens op gestudeerd. Voor kleine gezelschappen (N = 2, 3, 4 personen) is het nog wel oplosbaar, door gewoon alle goede en foute combinaties na te lopen. De kans op een foute trekking is daarbij inderdaad afhankelijk van N. Voor N  5 wordt deze methode echter ondoenlijk. Daarom mijn vraag: hoe kun je dit vraagstuk slim aanpakken, zodat je het ook voor grote gezelschappen kunt oplossen. Het mooiste antwoord zou iets zijn als: Pr(tenminste iemand trekt zichzelf bij een gezelschap van N personen) = f(N) (uitgeschreven als functie van N).
Iemand een idee?
M. Hau
Ouder - vrijdag 2 juli 2004
Antwoord
Hallo,
Het probleem is gekend onder de namen hoedenprobleem of sinterklaasprobleem. Op deze link staat de uitwerking. De kans op succes bij n personen blijkt te zijn:
$\sum$(-1)i/i!
waarbij i loopt van 2 tot n en i! = 1·2·3·...·i
Voor n=7 wordt dit dus:
1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720 - 1/5040
= 1854/5040 = 0,367857142857142...
Merk op dat de kans wel degelijk afhangt van de waarde van n, maar dat de formule toch convergeert, en wel naar
1/e = 0,36787944117144232159552377016146...
Dat ligt zeer dicht bij het resultaat voor n=7. Dus of je nu n=7 kiest of n=7000000, dat maakt nauwelijks iets uit.
Overigens, de kans dat het bij n=7 eerst drie keer fout gaat en dan goed, is: (noteer met P de kans dat het goed gaat)
(1-P)3 · P = 0,092923358594075385256143273635985
Dus een goeie 9 procent kans.
Groeten,
Christophe.
Christophe
vrijdag 2 juli 2004
©2001-2024 WisFaq
|