Machtreeks, gecentreerd in x=-2

Gegeven is dat de machtreeks
$\sum$_n=0^$\infty$ c_n(x+2)ⁿ absoluut convergent is voor x =1 en divergent voor x = -7.
Dan geldt voor de machtreeks dat hij
convergent is voor x=-5 en divergent voor x = 4
Kunt u mij deze conclusie uitleggen

Jasper
Student universiteit - donderdag 17 juni 2004

Antwoord

Je kunt het centrum van de machtreeks, hier x=-2, door een eenvoudige substitutie verleggen naar 0. Dan kom je op bekend terrein. Dat gaat als volgt.
Stel y=x+2. Dus als x=1,-7,-5,4, dan (achtereenvolgens) y=3,-5,-3,6.
De machtreeks $\sum$_n=0^$\infty$c_nyⁿ is dan volgens de gegevens absoluut convergent voor y=3, en divergent voor y=-5.
Dus de convergentiestraal R van de machtreeks in y is minstens 3 en hoogstens 5.
Het convergentiegebied (waarden van y) is (-R,R) of (-R,R] of [-R,R) of [-R,R]
Omdat de convergentiestraal hoogstens 5 is, is de reeks voor y=6 (x=4) divergent.
Omdat de machtreeks voor y=3 absoluut convergent is, is hij ook voor y=-3 (x=-5) absoluut convergent. Dit volgt uit de definitie van absolute convergentie.

maandag 21 juni 2004

©2001-2024 WisFaq