Formules veelhoeken

Geef (met bewijs) een formule voor de hoekgrootte van een regelmatige n-hoek en geef (met bewijs) een formule voor het aantal diagonalen van een n-hoek?

inge
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 9 april 2002

Antwoord

Als je vanuit het middelpunt alle stralen trekt naar de hoekpunten van je n-hoek, dan ontstaan er rond dat middelpunt in totaal n hoeken die (dus) elk 360/n graden zijn.

Per driehoek blijft er dan voor de twee andere hoeken in totaal over 180-360/n graden.

Door nu te delen door 2 weet je nu de grootte per hoek.
Maar dat delen hoeft niet, want er liggen steeds twee van die gelijke hoeken naast elkaar.
Kortom: 180-360/n graden per hoek.

Voor het aantal diagonalen kun je de volgende redenering afsteken:
neem plaats in één van de hoekpunten van je n-hoek.
Trek vanuit dat punt alle diagonalen naar alle andere hoekpunten. Vergis je nu niet door te denken dat dat er (n-1) zijn, want als je een verbinding trekt naar het punt direct links of rechts van je, dan krijg je geen diagonaal maar een zijde!
Dus er vallen 3 punten af, waarnaar je geen diagonaal kunt trekken, namelijk naar het punt waar je zelf staat en naar de twee punten direct links en rechts van je.
Blijven er dus (n-3) over.
Als je deze procedure herhaalt voor ieder hoekpunt, dan krijg je op deze manier dus n.(n-3) diagonalen.

Maar....

Als je bijv.de diagonaal trekt vanuit punt A naar punt G, dan trek je later (als je in G staat) nogmaals de dezelfde diagonaal van G naar A.

Je telt nu dus alles dubbel. Conclusie: ½.n.(n-3) stuks

MBL
dinsdag 9 april 2002

©2001-2024 WisFaq