Afstand van twee punten op een bol

Wij moeten een werkstuk maken over de kortste afstand tussen twee punten op een bol. We hebben al veel informatie, maar we kunnen weinig vinden over de geschiedenis hiervan en waarvoor je dit in de praktijk gebruikt.

Het zou heel fijn zijn als jullie ons daarmee kunnen helpen.
Alvast bedankt.

Frank
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 8 april 2002

Antwoord

Of er nou een echte geschiedenis over de afstand tussen twee punten op de bol geschreven is weet ik eigenlijk niet.

Het nut zit hem natuurlijk hier in: we leven nou eenmaal op een bol, en na deze ontdekking was het niet onbelangrijk om die bol (dus de aarde) in kaart te brengen. Op zoek naar de kortste afstand tussen twee punten op een bol (gemeten over het oppervlak natuurlijk!) kwam men erachter dat je die moest bepalen langs een grote cirkel.

Een heel andere invulling van de geschiedenisvraag is de volgende.
Eeuwenlang was men er van uitgegaan dat er maar één opvatting over het begrip afstand mogelijk was, namelijk dat de afstand tussen 2 punten gelijk was aan de lengte van het rechte verbindingslijnstuk. Iedereen die over een afstand spreekt bedoelt per definitie deze opvatting.

Op dit afstandsbegrip is de hele meetkunde eeuwenlang gebaseerd geweest en men kon er uitstekend onze wereld mee beschrijven. Totdat men ook, als een soort proefballonnetje, andere afstandsbegrippen toeliet (zoals de afstand langs een grote cirkel). Er bleek al snel dat er eigenlijk met deze andere afstandsopvatting uitstekend en probleemloos gewerkt kon worden.

Maar allerlei vanzelfsprekendheden bleken ineens minder vanzelfsprekend te zijn. Om er eentje te noemen: in de traditionele meetkunde is de optelsom der hoeken in een driehoek 180°. Je kunt je toch bijna niets anders meer voorstellen dan dat? Maar dat komt omdat je ook nooit met iets anders geconfronteerd werd!

Als je echter op een bol een "boldriehoek" tekent waarvan de zijden bestaan uit stukken van grote cirkels (want dat zijn nu ineens de kortse verbindeingen geworden!), dan blijkt in zo'n boldriehoek de optelsom der hoeken altijd méér dan 180° te zijn. In die tijd een schokkende ontdekking, tegenwoordig volledig geaccepteerd als een andere manier om tegen de wereld aan te kijken.

Door nóg weer andere afstandsafspraken te maken (die natuurlijk wel logisch in elkaar moeten zitten) is er ook een meetkunde mogelijk waarbij in een driehoek de som der hoeken minder dan 180° is.

Dit soort nieuwe meetkunden noemt men de niet-euclidische meetkunden. Grondlegger hiervan is, zoals zo vaak, Gauss.

MBL
maandag 8 april 2002

©2001-2024 WisFaq