Een oefening over krommen en een constante vector

Hallo,

Ik heb hier een oefeningetje waar ik niet uitgeraak:

Zij P een punt op een kromme in E². Zij T het snijpunt van de X-as met de raaklijn aan de kromme in P, en zij F de loodrechte projectie van P op de X-as. Bepaal alle krommen waarvoor de vector TF een constante vector is (en dus niet afhangt van het gekozen punt P).

Als ik stel dat P=(p1,p2), dan zie ik op een tekening dat F=(p1,0) en T=(t1,0). Ik twijfel wel over het feit of ik P op deze manier mag noteren (en of P zelf geen parameter is), want T kan ook geschreven worden als een punt op de kromme + een aantal keer de afgeleide van de kromme in dat punt. Ik zou kunnen schrijven: T=P+l.P', maar dit lijkt mij niet echt correct te zijn omdat ik P zelf afleid ipv de kromme in P. Maar ik weet ook niet echt of ik dit wel nodig heb om de oefening op te lossen.
Hopelijk kunt u dit wat verduidelijken.

Mvg,

Tom

Tom
Student universiteit - woensdag 9 juni 2004

Antwoord

We zoeken dus een verzameling van krommen die aan de gegeven voorwaarde voldoen. Noem de functie van zo'n kromme k(x).

Stel co(P)=(x₁,k(x₁)), dan is co(F)=(x₁,0).

De raaklijn in het punt P heeft als vergelijking :

y - k(x₁) = Dk(x₁).(x - x₁)

Voor het punt T geldt dat y = 0, waaruit volgt dat

x_T = x₁ - ^k(x₁)/_Dk(x1)

De lengte van de vector TF is dus x_F - x_T = ^k(x₁)/_Dk(x1)

Dus zoeken we de functies k waarvoor geldt dat ^k(x)/_Dk(x) constant is en dan denken we onmiddellijk aan de exponentiële functies ...

woensdag 9 juni 2004

Re: Een oefening over krommen en een constante vector

©2001-2024 WisFaq