Kwadratische vorm

Ik ben met een opgave bezig over bilineaire vormen. Ik heb in de eerste vier opgaven een grammatrix gevormd van bilineaire vorm: C(a1e1+a2e2+a3e3,b1e1+b2e2+b3e3)=a1b1+a1b2-a1b3+a2b1+a2b3-a3b1+a3b2-3*a3b3
daarvan heb ik vervolgens ook een diagonaalmatrix gevormd en bepaald wanneer C'~ C. Echter nu wordt bij de vijfde vraag gevraagd of ik bij C de bijbehorende kwadrtische vorm wil bepalen. Ik begin dus door op te stellen x1²+2*x1x2-2*x1x3+2*x2x3-3*x3². Echter nu moet ik hiervan de 'diagonaalvorm' bepalen en dus overgaan op andere coordinaten (y1,...yn). IK snap alleen niet hoe ik dat doe, moet ik dan ook weer 2 y-coordinaten krijgen en hoe kom aan deze y-coordinaten?

een voorbeeld staat hier [url]http://www.math.kun.nl/~bosma/onderwijs/voorjaar03/LA3.ps[/url] onder kopje 3.2.7 (zit geloof klein foutje bij tweede afleiding, moet een extra term (2/5*x3^)² bij)

bij voorbaat dank
Erik

Erik
Student universiteit - zaterdag 5 juni 2004

Antwoord

Hallo Erik,

Als ik het goed begrijp moet je overgaan op y₁,y₂,y₃ zodat je geen kruisproducten meer hebt, dus geen term in y_iy_j met i verschillend van j.

Opgave: x₁²+2x₁x₂-2x₁x₃+2x₂x₃-3x₃²

Kies er één x uit, bijvoorbeeld x₁. De termen waarin x₁ voorkomt, zijn
x₁²+2x₁x₂-2x₁x₃
= (x₁+x₂-x₃)²-x₂²-x₃²+2x₂x₃

Je hebt hierdoor wel een aantal termen toegevoegd, maar het belangrijke is dat je nu wat tussen de haakjes staat, y₁ kan noemen, en in de rest van de uitdrukking staat dan geen x₁ meer.

y₁²-x₂²-x₃²+2x₂x₃+2x₂x₃-3x₃²
= y₁²-x₂²-4x₃²+4x₂x₃

Nu doe je hetzelfde met x₂:
y₁²-(x₂-2x₃)²
= y₁²-y₂²

Je ziet dat je in dit geval slechts twee termen, dus slechts twee y-waarden overhoudt, waar je in het algemeen geval drie waarden verwacht.

Hier geldt dus dat n₀=n_-=n₊=1.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 5 juni 2004

©2001-2024 WisFaq