Moeilijke goniometrische vergelijking
Hallo,
Zouden jullie me even kunnen helpen bij volgend probleem?
Wat is de oplossing van de vergelijking
A*sin(a)+1
tan2(a)= --------------
B*cos(a)+1
in functie van A en B?
Dank bij voorbaat.
Joris
2de graad ASO - donderdag 3 juni 2004
Antwoord
Uit de vergelijking volgt dat a niet gelijk is aan p/2+kp voor kÎ , en
tan2(a)=(A*tan(a)+1/cos(a))/(B+1/cos(a))
Merk nu eerst op dat 1/cos2(a)=(sin2(a)+cos2(a))/cos2(a)=sin2(a)/cos2(a)+cos2(a)/cos2(a)=tan2(a)+1, dus 1/cos(a)=±Ö(1+tan2(a)) (het teken is afhankelijk van het kwadrant waarin de hoek a ligt).
Stelt men tan(a)=u, dan staat er
u2=(A*u±Ö(1+u2))/(B±Ö(1+u2)).
Dit kan men herleiden tot u4B2-2ABu3+A2u2=1-u2-u4+u6 (ook als men bijvoorbeeld cos(a)=v stelt, komt er een zesdegraads veelterm).
Er bestaan geen formules om de oplossingen u van deze veeltermvergelijking algemeen in A en B uit te drukken; wel kan men eventueel bij gegeven A en B numerieke oplossingen vinden. Controleer dan wel of er bij het kwadrateren geen onechte oplossingen zijn ingevoerd.
Als men nu u heeft, berekent men a als arctan(u)+2kp of p+arctan(u)+2kp (controleer dit in de oorspronkelijke vergelijking).
maandag 7 juni 2004
©2001-2024 WisFaq
|