Integraal van dx/sin5x of dx/cos5x
hoi,
aangezien jullie mij vorige keer zo goed uit de nood konden helpen zou ik graag nog es iets vragen stel je hebt als opgave: dx/sin5x of dx/cos5x hoe moet je dit dan doen? je kan het zowel mat partiële integratie als met goniometrische substitutie oplossen, maar bij beide loop het mis. ik weet dat je met -cotg(x) moet werken maar als ik dat dan partieel integreer (gewoon formule toepas) lukt het me niet om verder te raken...hopelijk kunnen jullie me helpen....bedankt op voorhand!
Tamara
3de graad ASO - woensdag 2 juni 2004
Antwoord
Hallo,
dx/sin5x kan je als volgt doen: vermenigvuldig teller en noemer met sin(x).
De teller is dan sin(x)dx=-d(cosx)
De noemer is dan sin6x=(sin2(x))3=(1-cos2(x))3
Als je dan y=cosx stelt, heb je enkel een veelterm in de noemer, dus dat zou moeten lukken met partieelbreuken.
Deze methode kan je toepassen voor elke oneven macht van sin(x) (of cosx) in teller of noemer.
Meer algemeen, als je alleen maar goniometrische uitdrukkingen in de integraal hebt (dus geen wortels of e... of zo), kan je weg met de t-formule: substitueer t=tg(x/2). Ook deze methode zal hier wel werken.
Laat ik het eens proberen met die -cotg(x): d(-cotg(x))=1/sin2(x), dus je hebt daar eigenlijk
̣d(-cotg(x))/sin3(x)
= (part.int.) -cotg(x)/sin3(x) +3̣-cotg(x)cosx/sin4x dx
= -cotg(x)/sin3(x) -3̣cos2x/sin5x dx
= -cotg(x)/sin3(x) -3̣(1-sin2x)/sin5x dx
= -cotg(x)/sin3(x) -3̣dx/sin5x - 3̣dx/sin3x
Als je die tweede term naar het linkerlid stuurt, heb je de gevraagde integraal uitgedrukt in -cotg(x)/sin3x enerzijds en ̣dx/sin3x anderzijds. Die laatste integraal kan je dan op dezelfde manier aanpakken, dus weer met die d(-cotg(x)) werken.
Groeten,
Christophe.
Christophe
woensdag 2 juni 2004
©2001-2024 WisFaq
|