Oplossen van vergelijkingen

ik moet inderdaad laten zien dat de oplossingen van Y^2=-8i
22e^-1/4 en 22^3/4 i staat in het antwoordenboek hoe moet ik dat doen.
ook zo moet z^2=9i waar ik geen antwoord van heb.
ik hoop dat u mij nog verder kan helpen
hartstikke bedankt!!

oege s
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 6 april 2002

Antwoord

Als je je de meetkundige voorstelling van 9i maakt, dan is dat een vector van lengte 9 die recht omhoog staat.
De hoek met de x-as is dan dus 90°.
Nu weet je blijkbaar dat als je een complex getal kwadrateert, de hoek met de x-as (het argument genoemd) verdubbeld wordt.
Dat betekent dus dat de oorspronkelijke hoek er een geweest is van 45° of -135° (want dan is het dubbele -270° en dat is, meedraaiend met de klok, ook recht omhoog).
Als je nu in plaats van graden rekent met radialen, dan ben je er. 45°=1/4 radialen, en daarom is de eerste oplossing van z²=9i gelijk aan 3.e^{¼ p i}
en de tweede oplossing is dan 3.e^{-3/4 p i}

Als je bijv. de eerste oplossing nou kwadrateert, dan krijg je:
9.e^{½ p i}=9(cos½ p +i.sin½ p )=9.(0+i)=9i.
Controleer zelf de tweede oplossing maar eens.

Om dit allemaal te kunnen volgen is het noodzakelijk dat je het volgende weet:
een complex getal met modulus r en met een hoek met x-as die gelijk is aan f kun je schrijven als r.e^{i. f} en ook als r.(cos f +i.sin f )
Onder de modulus wordt dan de lengte van de vector verstaan.

MBL
zaterdag 6 april 2002

©2001-2024 WisFaq