Verschilrij

Verschilrij
Rij: 23,14,8,5,....
Hoe stel ik bij deze verschilrij een rangnummerformule en een recursievergelijking op?

Wesley
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 5 april 2002

Antwoord

Het gaat om de rij:
23,14,8,5,....
De verschilrij hiervan is:
-9, -6, -3, ..
Deze verschil rij is een rekenkundige rij
De oorspronkelijke rij is dus een kwadratische !

Eerst maar eens een formule voor de verschil rij:
-9, -6, -3, 0, 3

De eerste term is -9 en het loopt steeds met stapjes van 3 op dus : v(n) = 3n-12 (ga maar na !)

Als je nu bijv het 37ste getal van de (oorspronkelijke)rij weet kun je het 38ste berekenen.
Immers v(37)= 3·37-12
en t(38)=t(37)+√(37)
Algemeen:
t(n+1)=t(n)+v(n)
Controleer maar met het begin van de rij
t(1) = 23 ; v(1) = -9 t(2) = 23+ -9 =14
t(3)= 8; v(3) = -3 ; t(4)= 8+ -3 =5

Om een directe (rangnummer) formule te maken zijn allerlei mogelijkheden.
Een mooie is de volgende
Wanneer de eerste 3 verschillen optelt bij de eerste term kijg je de vierde:
Kijk maar -9 + -6 + -3 = -18 en 23 + -18 = 5
Wanneer je de 100ste term wilt uitrekenen moet je dus de eerste 99 verschillen optellen bij 23
De som van de eerste 99 verschillen is:
-9+-6+-3+0 +3......+ 285 (denk aan de formule 3n-12)
Dit is eenvoudig uit te rekenen 50x(-9+285)
[paartjes maken, of eventueel de somformule voor een rekenkundige rij]

Zo kun je ook de som van de eerste (n-1) verschillen berekenen v(1)=-9 v(n-1)=3(n-1)-12=3n-15

de som hiervan is 1/2·(n-1)(-9+3n-15) = 1/2·(n-1)(3n-24)

Als je dit optelt bij 23 heb je een rangnummerformule.
Het verder uitwerken mag je zelf doen.

gk
vrijdag 5 april 2002

©2001-2024 WisFaq