Maximale oppervlakte vierhoek

Voor elke positieve waarde van a en b waarbij ab gaan de grafieken van f(x)=x³ en g(x)=x¹/₄door de punten (0,0) en (1,1). De grafieken van f en g verdelen het vierkant OABC in drie delen, namelijk I,II en III. Er wordt een verticale lijn getrokken bij x=p. Hierdoor ontstaat vierhoek OQBP. Bij welke p is deze vierhoek maximaal??

Felice
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 17 mei 2004

Antwoord

Ik neem aan dat:

• Q op de grafiek van f ligt
• P op de grafiek van g ligt
• de oppervlakte van vierhoek OQBP maximaal moet zijn.

Zie onderstaand plaatje:

De oppervlakte van deze vierhoek is:
opp(driehoek OQP)+opp(driehoek QBP)=
¹/₂.OS.QP+¹/₂.TB.PQ=
¹/₂p.PQ+¹/₂(1-p).PQ
¹/₂p.PQ+¹/₂PQ-¹/₂p.PQ
¹/₂PQ.
De oppervlakte van vierhoek OQBP is maximaal als PQ maximaal is.
PQ=g(p)-f(p)=p^(¹/₄)-p³.
We moeten dus het maximum van de functie h(p)=p^(¹/₄)-p³ bepalen.
Als het niet exact hoeft kun je dat met je grafische rekenmachine doen (als je die hebt).
Als het wel exact moet kun je h'(p)=0 oplossen.
Het exacte antwoord is p=(1/12)^(4/11).
Het benaderde antwoord is p=0.405108

maandag 17 mei 2004

©2001-2024 WisFaq