Afleiden formule samengestelde trillingen

Hoi Wisfaq,

Ik ben vast gelopen op het afleiden van een formule voor een samengestelde trilling. Ik moet aantonen dat Asinwt+Bcoswt 'om te bouwen is' naar (ÖA²+B²)·sin(wt+f)
tanf=B/A.
Het eerste deel (de amplitude:(ÖA²+B²)) snap ik. (Dat hebben ze denk ik met de stelling van Pythagoras gedaan) Maar ik snap niet hoe ze aan het tweede deel komen.
Ik hebhet al met de formules van Simpson geprobeerd, maar daar kwam ik niet uit. Zou u mij hiermee verder kunnen helpen?

Alvast Hartelijk bedankt

Erik Z
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 11 mei 2004

Antwoord

Het duurde misschien wat lang, maar ik slaag er niet in om mijn figuur erbij te voegen.

De vraag heeft eigenlijk te maken met natuurkunde, maar ze kan wel wiskundig uitgewerkt worden. Hoewel dit een wiskunde-site is ga ik dat niet doen. Het zal heel wat moeilijker zijn dan de uitwerking die ik ga geven. Indien je het toch wil proberen: het beste is om te nemen dat x=...+... (de som van de 2 trillingen). Door gebruik te maken van de (al gekende) oplossing kan je dit proberen te schrijven als x=Asin(wt+y).

De bedoeling is dat je de trillingen in een fasoren-diagramma tekent, als rondraaiende vectoren dus met hoeksnelheid w. Het faseverschil tussen de trillingen is 90 graden (de sinus en cosinus verschillen 90 graden).
Voor het gemak geef ik de eerste trilling amplitude A₁ en de tweede amplitude A₂. De amplitude van de samengestelde trilling noem ik dan A. Stel dat deze een faseverschil y heeft (met de eerste trilling). Kies de x-as volgens de eerste trilling en de y-as volgens de tweede.

De amplitude A vind je inderdaad met Pythagoras. Voor de fasehoek moet je de projectie van A op de y-as delen door de projectie op de x-as:
*y-as: Asin(y)=A₂
*x-as: Acos(y)=A₁
Deling levert tan(y)=A₂/A₁.
Je kan het ook anders zien: de rico van een rechte kan via de tangens van de hoek die ze maakt met de x-as (=y) beschreven worden. Dit geeft natuurlijk hetzelfde resultaat.

Deze uitwerking geeft dus relatief eenvoudig de oplossing.

Een oefening is om dezelfde uitwerking met fasoren eens te maken voor de som van 2 trillingen met een faseverschil f: algemeen dus, niet noodzakelijk 90 graden. De fasehoek y vind je op dezelfde manier (zij het iets ingewikkelder). Voor de amplitude zal je dan de cosinusregel in een willekeurige driehoek nodig hebben...

Joeri
vrijdag 14 mei 2004

Re: Afleiden formule samengestelde trillingen

©2001-2024 WisFaq