Algebraïsch ontbinden
z5-1=0 hoe moet je dit algebraïsch ontbinden via complexe getallen?
brigan
3de graad ASO - zaterdag 8 mei 2004
Antwoord
Hoi,
Eerst gaan we z5=1 eens oplossen.
Ik hoop dat je de formule van Euler kent, z = reiF, die stelt hetzelfde voor als z = a + bi, of z = r(cos(F) + isin(F)). Aangezien je weet dat alle drie de formules dezelfde voorstelling van een complex getal zijn, geldt dat er bij het argument 2kp mag opgeteld worden (de periode van cosinus en sinus, cos(F + 2kp) = cos(F) en dit geldt ook voor de sinus). Dit hebben we dadelijk nodig.
Dus z = reiF Û z5 = (reiF)5 Û z = r5e5i(F+2mp). (Volgens de stelling van de Moivre).
En 1 heeft als modulus 1 en als argument 0 (+ 2kp), dus ei(0 + 2kp) = ei(2kp).
Aangezien z5 = 1 Þ r5e5i(F+2mp) = ei(0 + 2kp).
Wanneer zijn twee complexe getallen hetzelfde? Als ze het reële evenals het complexe deel hetzelfde hebben, dus in ons geval r5 = 1 en 5i(F + 2mp) = i(2kp).
r = 1 en F + 2mp = 2/5kp
r = 1 en F = 2/5kp aangezien er altijd een veelvoud van 2p bij het argument mag opgeteld of afgetrokken (in ons geval -2mp) worden.
Een n-de graads vergelijking heeft precies n oplossingen (wortels), dus laten we k de waarden 0,1,2,3 en 4 aannemen.
Voor het gemak herschrijven we de gevonden r en F in de vorm z = r(cosF + isinF).
z0 = cos(0) + isin(0) Þ z0 = 1
z1 = cos(2/5p) + isin(2/5p)
z2 = cos(4/5p) + isin(4/5p)
z3 = cos(6/5p) + isin(6/5p)
z4 = cos(8/5p) + isin(8/5p)
De ontbinding is dus (z-1)·(z-cos(2/5p)-isin(2/5p))·(z-cos(4/5p)-isin(4/5p))·(z-cos(6/5p)-isin(6/5p))·(z-cos(8/5p)-isin(8/5p)).
Maple geeft de volgende benadering:
Groetjes,
Davy.
zondag 9 mei 2004
©2001-2024 WisFaq
|