Transformatiematrix vormen

Ik heb inmiddels een tentamen gehad (en gehaald :-) van de volgende stof. Maar nu krijg ik bij lin. Algebra4 weer een probleem waar ik niet geheel uit kom. Ik zal eerst even de opgave defienieren:
Laat V de vectorruimte [x]² van rationale polynomenvan graad ten hogste 2 zijn. Definier de transformatie f door f(f(x))=f(x)+x*f'(x)+f'(x) in V is en f'(x) de afgeleide van f(x) is.

Nou snap ik de lineaire afbeelding wel precies, dat is ook niet zo moeilijk, maar nu is vraag i:
Kies een basis ß voor V en bepaal M_f^ß.

Het bepalen van de basis is erg simel: basis={1,x,x²}. Maar nu heb ik een probleem met het vormen van die matrix, hoe pak ik dat aan. Ik heb deze matrix straks nodig bij het bepalen van de karakteretieke polynoom en eigenwaarden, etc.
alvast bedankt!
Erik

Erik
Student universiteit - maandag 3 mei 2004

Antwoord

Dag Erik,

Die M_f^b is toch de matrix die op de kolommen zet wat f met de basis doet?

Dus 1 wordt door f gestuurd naar
1 + x*0 + 0 = 1 = 1*1 + 0*x + 0*x² = (1,0,0)

x wordt gestuurd naar:
x + x*1 + 1 = 2x+1 = 1*1 + 2*x + 0*x² = (1,2,0)

En x² wordt gestuurd naar:
x² + x*2x + 2x = 3x²+2x = 0*1 + 2*x + 3*x² = (0,2,3)

Dus volgens mij is de gezochte matrix:
1 1 0
0 2 2
0 0 3

Even controleren: ax²+bx+c wordt door f gestuurd naar:
ax²+bx+c + x(2ax+b) + 2ax+b = 3ax² + (2a+2b)x + (b+c)
ax² wordt volgens de matrix gestuurd naar 2ax+3ax² (derde kolom)
bx naar b+2bx
c naar c

Samengeteld geeft dat hetzelfde resultaat.

Ik denk dat dit je vraag beantwoordt, zoniet laat je maar iets weten.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 3 mei 2004

©2001-2024 WisFaq