Een vergelijking oplossen

hoe los je de vergelijking op:\

³Ö(( 7-(Ö50))
opgeteld met
³Ö(( 7+(Ö50))

schijnbaar moet er 2 uitkomen
maar hoe doe je dit op papier zonder rekenmachine,

ronald
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 28 april 2004

Antwoord

Hallo Ronald,

Noem die som eens X.
Die derdemachtswortels maken het nogal lastig, dus bereken eens X³. (je gebruikt (a+b)³=a³+b³+3a²b+3ab²)

X³=(7-Ö(50)) + (7+Ö(50))
+3*³Ö((7-Ö(50))²(7+Ö(50)))
+3*³Ö((7+Ö(50))²(7-Ö(50)))

Werk nu de producten uit die binnen die ³Ö staan:

= 14 +3*³Ö(-7+Ö(50))+3*³Ö(-7-Ö(50))

Gebruik nu ³Ö(-a)=-³Ö(a)

=14-3*³Ö(7-Ö(50))-3*³Ö(7+Ö(50))

Maar hier herken je weer X in:

= 14-3X

Je weet dus dat voor X geldt: X³+3X-14=0
Deze derdegraadsvergelijking heeft drie oplossingen, en één daarvan is X zelf, dan moet je alleen nog bepalen welke oplossing dat is.

Als al gegeven is dat X=2 moet uitkomen, kan je deze oplossing (X-2) wegdelen, en blijft er enkel een kwadratische vergelijking over. Anders moet je Cardano gebruiken.

In elk geval bekom je dit: de drie wortels zijn:
2, -1+iÖ6, -1-iÖ6

Je weet echter dat X niet complex kan zijn: de wortel uit een positief reëel getal (hier 50) is altijd reëel, en de derdemachtswortel van een reëel getal is ook altijd reëel. Dus kan je besluiten dat X=2...

Groeten,
Christophe.

Christophe
woensdag 28 april 2004

©2001-2024 WisFaq