Limiet ln n/n^k

Er is mij gevraagd te bewijzen dat lim n®¥ ln n/( n^k) = 1/k·((ln(n^k))/n^k), en daarna dan hiermee te bewijzen dat lim n®¥ ln n/(n^k) = 0, maar ik vind dit heel moeilijk, dus zou u mij misschien kunnen helpen? Alvast bedankt

Tjeerd
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 27 april 2004

Antwoord

Dag Tjeerd,

ln(n^k)=k·ln(n) (eigenschap logaritme)
Meer dan dat heb je niet nodig om die omzetting te doen.

Het voordeel daarvan is dat je iets krijgt van de vorm:
1/k · ln(x)/x
met x=n^k
en als n naar ¥ gaat, dan doet x dat ook voor elke k0.

Nu, wat is lim(x®¥) ln(x)/x ?
Invullen levert ¥/¥ dus kan je de regel van de l'Hôpital toepassen: teller afleiden geeft 1/x, noemer afleiden geeft 1.

De oplossing wordt dus 1/k · 1/x voor x naar oneindig wordt dit nul.

Merk dus op dat dit betekent dat ln(n) gedeeld door eender welke postieve macht van n, altijd naar nul gaat. Dus zelfs de miljardstemachtswortel van n wordt op oneindig zodanig veel groter dan ln(n), dat het quotiënt naar nul gaat.

Groeten,
Christophe.

PS je kan het ook op een andere manier bewijzen: ln(x)/x is positief, maar stel dat de limiet niet nul is maar wel p(0)

lim(ln(x)/x²)=1/2 · lim(2ln(x)/x²) voor x naar oneindig
= ¹/₂ · lim(ln(x²)/x²) voor x naar oneindig
= ¹/₂ · lim(ln(t)/t) voor t naar oneindig
= p/2

De afgeleide van f(x)=ln(x)/x is:
(1-ln(x))/x²
= 1/x² - ln(x)/x²
Laten we x naar oneindig gaan, dan wordt dit:
0 - p/2 (net uitgerekend)
= -p/2

Je hebt dus een functie die vanaf x=e, f(x)=1/e moet dalen, die convergeert op oneindig naar een getal p0, en die op oneindig toch nog een raaklijn heeft met richtingscoëfficiënt die nadert naar een welbepaald negatief getal -p/2... Dat kan niet.

Christophe
woensdag 28 april 2004

©2001-2024 WisFaq