Differentiëren en complexe getallen

Stel, ik heb een functie f[z] (z is complex en te substitueren als x+yi) en ik wil df/dz berekenen. Hoe doe ik dat dan? Is

df/dz = df/dx + df/dy · i

of heb ik dat helemaal fout?

Stijn
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 22 april 2004

Antwoord

Hallo Stijn,

de definitie van df/dz voor een functie f:® is in principe net als voor een reele functie:
df/dz(z) = lim_h®0(f(z+h)-f(z))/h.
Deze limiet moet echter wel in het complexe vlak gelden (en dus hetzelfde zijn), dus vanaf welke richting h ook maar tot 0 nadert. In het bijzonder moet df/dx gelijk zijn aan -i df/dy als we schrijven z=x+iy. In dat geval is df/dz = df/dx = -i df/dy. Het komt erop neer dat df/dz = a betekent dat we benaderen f(z+h) @ f(z) + a h.
Overigens zijn er verschillende criteria opgesteld om te bepalen wanneer een functie complex differentieerbaar is. Dat blijkt een hele sterke eis met verstrekkende consequenties (vandaar dat complexe functietheorie zo'n interessant vak is). Om meteen ook jouw vorige vraag te beantwoorden:
De bekende rekenregels voor het differentieren van polynomen gelden nog steeds, dus als f[z] = z²+c, dan is f'[z] = 2 z. Het is dus NIET zo dat df/dz = df/dx + i df/dy, zoals jij veronderstelde. Wel is overigens df/dz = df/dx = dr/dx + i ds/dx = -i df/dy = ds/dy - i dr/dy, wanneer je f schrijft als f = r + i s. Dat levert dan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen die een criterium blijken te zijn voor complexe differentieerbaarheid: dr/dx = ds/dy en ds/dx = -dr/dy.
Ik hoop dat ik hiermee een tipje van de sluier voor je heb opgelicht.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
vrijdag 23 april 2004

©2001-2024 WisFaq