De kwadratische rij

Ik heb een bewering en ik moet zelf bewijzen of deze juist of onjuist is, maar ik kom er echt niet uit. Misschien zouden jullie mij een handje kunnen helpen:

De kwadratische rij waarvan de eerste termen worden gegeven door 41, 83, 127, 221, 271,... bestaat uitsluitend uit priemgetallen.

Alvast bedankt

Meshka
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 20 april 2004

Antwoord

Beste Meshkan,

Een kwadratische rij bestaat nooit uitsluitend uit priemgetallen.

Voor een kwadratische rij heb je de formule an² + bn + c. Stel dat zo'n rij alleen maar priemgetallen zou leveren.

1. Het kan niet zo zijn dat c=0, want dan is an² + bn = n(an+b) natuurlijk deelbaar door n, en dus niet altijd maar priem.
   
2. Als je n=c neemt, dan krijg je ac² + bc + c = c(ac+b+1) en dat is deelbaar door c. Dus als c1, dan is er voor n=c in elk geval geen priemgetal (tenzij ac+b+1=1 en c een priemgetal is, maar dan kun je n=2c, n=3c enz. nemen).
   
3. Het vorige argument werkt ook als c-1, maar dan moet je n=-c (evt. n=-2c, n=-3c, ...) nemen.
   
4. We kunnen dus nog hebben dat c=1, dan is de formule an² + bn + 1. Dit lossen we op met een flauwe truc, we nemen n=N+1, en gaan substitueren a(N+1)² + b(N+1) + 1 = aN^2 + (2a+b)N + a+b+1 en nu hebben we in de meeste gevallen een soortgelijke situatie als bij 1. of 2. Er zijn twee mogelijkheden dat je niet in een situatie als bij 1. of 2. uitkomt: als a=-b (en dus a+b+1=1) of als a+b=-2 (en dus a+b+1=-1). Om dat op te lossen kunnen we in de oorspronkelijke formule n=N+2, n=N+3, enz., substitueren, en in een van die gevallen komen we echt in een soortgelijk geval als bij 1. of 2.
   
5. Het geval c=-1 behandelen we op soortgelijke wijze.

Er is dus geen enkele c mogelijk waarvoor een kwadratische rij alleen maar priemen levert. Zo'n kwadratische rij bestaat dus niet.

dinsdag 20 april 2004

©2001-2024 WisFaq