Mandelbrot-fractal
Wij snappen niet goed hoe uit de formule voor de Mandelbrot-fractal de figuur kan ontstaan. Als we de formule toepassen, dan krijg je de grafiek, maar hoe ontstaat de fractal dan?
Maike
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 april 2004
Antwoord
Hallo Maike,
Er zijn al verschillende antwoorden op jouw vraag gegeven. Helaas zijn er enkele niet helemaal correct of wat onduidelijk. De hieronder volgende links geven in ieder geval alvast de nodige informatie. Hoewel daar in principe wel staat wat je zoekt, wil ik het hier ook in mijn woorden nog proberen te verduidelijken.
Bij de Mandelbrot-verzameling kijken we naar wat er gebeurt als we de functie fc(z) = z2 + c herhaald toepassen, beginnend met z=0. Laten we het eens proberen: pak je rekenmachine en reken mee. Ik doe het voor de volgende vijf gevallen:
a) c=0.5:
z0 = 0 (per definitie)
z1 = fc(z0) = 02+0.5 = 0.5
z2 = fc(z1) = 0.52+0.5 = 0.75
z3 = 1.0625
z4 = 1.6289...
z5 = 3.1533...
z6 = 10.444...
Het lijkt erop dat deze waarden steeds groter worden. We zeggen dan dat de rij divergeert.
b) c = -1
z0 = 0 (per definitie)
z1 = fc(z0) = 02-1 = -1
z2 = fc(z1) = (-1)2-1 = 0
z3 = -1
z4 = 0
enzovoorts. Deze rij springt dus telkens heen en weer. We zeggen dat de rij periodiek is (met periode twee; bij c=0 is het nog flauwer, dan krijgen we de rij 0,0,0,... en die is periodiek met periode 1)
c) c = -0.5
Nu krijg je de rij 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.3086, -0.4048, -0.3362, -0.3870, ..., -0.3647, -0.3670, -0.3653, -0.3665, -0.3657, ...
Nu lijkt het erop dat de rij steeds dichterbij -0.3660254 komt te liggen. We zeggen dan dat de rij convergent is.
d) c = -0.9
Nu krijg je de rij 0, -0.9, -0.09, -0.8919, -0.1045, -0.8890, -0.1095, -0.8880, -0.1115, -0.8876, ...
Het lijkt erop dat dit steeds dichter nadert tot een rij die heen en weer springt tussen -0.1127017 en -0.8872983.
We zeggen dan dat de rij convergeert naar een periodieke rij.
e) c = -1.5
Nu krijg je de rij 0, -1.5, 0.75, -0.9375, -0.6211, -1.1142, -0.2585, -1.4332, 0.5541, -1.1930, -0.0767, -1.4941, 0.7324, -0.9636, ...
Voorlopig lijkt dit nog nergens op. Om eerlijk te zijn weet ik niet zeker of de rij in dit geval niet toch convergeert naar een periodieke rij met een hele lange periode, maar het is ook echt mogelijk dat er geen convergentie plaatsvindt (we noemen dat chaos).
En dan nu terug naar de Mandelbrot-verzameling. Daarmee proberen we voor elke waarde van de constante c weer te geven welk gedrag we krijgen voor de rij zoals hierboven beschreven. De Mandelbrot-verzameling is per definitie de verzameling van c's waarvoor de rij niet divergeert. Vaak wordt met kleurtjes ook nog aangegeven hoe lang het duurt totdat duidelijk is dat de rij gaat divergeren (op een van de onderstaande links kun je lezen dat je kunt bewijzen dat, als |zn| 2 voor zekere n, dan divergeert de rij). Je kunt ook aangeven waar de periodieke rijen met een bepaalde periode zitten. Daar komt nog een ding bij: de voorbeelden die ik nu heb gegeven waren allemaal voor reele getallen c. Dan zou de Mandelbrot-verzameling dus een deel van de getallenrechte zijn. Het plaatje wat je meestal ziet is in het complexe vlak. Alle berekeningen die ik liet zien kun je ook uitvoeren met een complex getal c (en dan dus ook een complexe rij zn). In principe is dat niet anders dan wat ik hier voor reele c liet zien, maar dan moet je nog wel met complexe getallen kunnen rekenen...
Ik hoop dat je wat aan deze uitleg hebt. Kijk vooral ook naar de eerder gegeven antwoorden. Hieronder heb ik een paar interessante links op een rijtje gezet:Veel plezier ermee,
Guido Terra
gt
maandag 19 april 2004
©2001-2024 WisFaq
|