sin(3x)=sin(x)×(4cos²x-1)

1. Ik wil graag weten hoe je deze stelling moet bewijzen:
sin(3x) = sin(x)× (4cos²x-1)
2. Hoe moet je cos3x uitdrukken in sinus en cosinus.

Man-Ch
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 5 april 2004

Antwoord

Hoi,

Als het goed is heb je de volgende regels gehad:

---

sin²(x)+cos²(x)=1

Somformule:
sin(u+t)=cos(u)×sin(t)+sin(u)×cos(t)

Verdubbelingsformule:
cos(2×x)= 2×cos²(x) - 1 = cos²(x) - sin²(x)= 1 - sin²(x)
sin(2×x)= 2×sin(x)×cos(x)

---

Vraag 1:
3×x kan je schrijven als x+x+x, dus ook 2×x+x
sin(3x)=sin(2×x+x)

Nu kan je de somformule toepassen:
sin(u+t)=cos(u)×sin(t)+sin(u)×cos(t)
met u=2×x en t=x

sin(2×x+x)=cos(2×x)×sin(x)+sin(2×x)×cos(x)

cos(2×x) en sin(2×x) kan je anders schrijven (met alleen een 'x')

We hadden: sin(2×x+x)=cos(2×x)×sin(x)+sin(2×x)×cos(x)

Nu nemen we even een deel hiervan: cos(2×x)×sin(x)
cos(2×x) kan je schrijven als 2×cos²(x)-1.
Je krijgt dan: cos(2×x)×sin(x)=(2×cos²(x)-1)×sin(x)

Nu het andere deel: sin(2×x)×cos(x)
sin(2×x)= 2×sin(x)×cos(x)
Hieruit volgt: sin(2×x)×cos(x)=2×sin(x)×cos(x)×cos(x)
2×sin(x)×cos(x)×cos(x)=2×sin(x)×cos²(x)=sin(x)×2×cos²(x)

Nu bij elkaar optellen:
cos(2×x)×sin(x)+sin(2×x)×cos(x)=(2×cos²(x)-1)×sin(x)+sin(x)×(2×cos²(x))

Je kan alles buiten haakjes tellen, dan alles samen optellen en het weer in haakjes zeggen. Ik pak het iets anders aan.
Voorbeeld:
3×a+2×a=(3+2)×a=5×a
3×sin(x)+2×sin(x)=(3+2)×sin(x)=5×sin(x)

(2×cos²(x)-1)×sin(x)+sin(x)×(2×cos²(x)) heeft ook allebei de sinus.
(2×cos²(x)-1)×sin(x)+sin(x)×(2×cos²(x))
= sin(x)×(2×cos²(x)-1)+sin(x)×(2×cos²(x))
= sin(x)×(2×cos²(x)-1+2×cos²(x)
= sin(x)×(4×cos²(x)-1)

Geef maar een reactie als deze laatste stap iets te veel voor je is.

Vraag 2:
Voor het antwoord op deze vraag verwijs ik je door naar een antwoord die al eerder gegeven is op wisfaq:
Vraag 22054: cos(3x) = 4cosł(x)-3cos(x)
Let op: je kan cos(3×x) op meerdere manieren beschrijven, de manier die bij vraag 22054 staat is 1 mogelijkheid

ws
maandag 5 april 2004

©2001-2024 WisFaq