Algemene oplossing differentiaalvergelijking

Bereken de algemene oplossing y(x) van:

xy' = (3x + 1)y + x³e^3x

Dit was een vraag van een oud tentamen. Ik kom er met gegevens uit mijn boek niet uit, hopelijk kunnen jullie mij helpen. Bij voorbaat dank,

Daniel

Daniel
Student universiteit - zaterdag 3 april 2004

Antwoord

Ik zal je een aanzet geven...

De differentiaalvergelijking is lineair en niet-homogeen. De algemene oplossing bestaat dus uit de som van de algemene oplossing y_h van de verwante homogene differentiaalvergelijking xy' = (3x+1) en een particuliere oplossing y_p van de volledige differentiaalvergelijking.

y = y_h + y_p

1) Bepalen van y_h

De homogene vergelijking is scheidbaar

x dy/dx = (3x+1)y
dy/y = (3x+1)dx/x
ln(y) = C' + 3x + ln(x)
y = C x e^3x

2) Bepalen van y_p

Om het even welke manier is goed om een particuliere oplossing te vinden van de volledige vergelijking, al bestaan er bepaalde technieken voor. Een daarvan staat in het Engels gekend als "variation of parameters". De naamgeving is een beetje verwarrend omdat men nogal snel geneigd is te denken dat het hier gaat over het vooropstellen van een mogelijke oplossing, op enkele constanten na, die dan door invulling bekomen kunnen worden. Dit is niet "variation of parameters".

Meer uitleg over wat "variation of parameters" wel is, vind je in je boek, of ook op Internet...

Probeer het zelf eens!

zaterdag 3 april 2004

©2001-2024 WisFaq