Diophantische vergelijkingen

Hallo team wisfaq,

Ik heb de volgende vraag. Ik wil bewijzen dat de relatie

(1) x⁴-8y⁴=z²

onmogelijk is in positieve getallen. Ik heb zelf het volgende bewijs waarvan ik enkele stappen niet begrijp. Zou u mij misschien daarmee kunnen helpen?

Ik gebruik in het bewijs o.a. de volgende lemma:
Als r,s en t positieve getallen zijn zodat ggd(r,s)=1 en rs=t² dan bestaan er integers m en n zodat r=m² en s=n²

Bewijs
Stel (1) heeft wel een oplossing in positieve gehele getallen en dat tussen al deze x,y,z er een oplossing is met een minimale waarde voor x.
Als ggd(x,y)=d, dan d|x en d|y, dus schrijf
x=Xd en y=Yd, dan (Xd)⁴-8(Yd)⁴=z², en hieruit volgt dat z=Z(d²) en X,Y,Z geven een oplossing met Xx, tenzij d=1.
Dus we kunnen aannemen ggd(x,y)=1.
Maar dan ook ggd(x,2y)=1, want x is oneven. Immers stel x is even , dan is z² een veelvoud van 8 en z is dus een veelvoud van 4: en dit vereist dat y even is.Maar als x en y even dan ggd(x,y)ongelijk 1.Dus ggd(z,2(y²),x²=1.

Vraag 1.
Waarom volgt dat z een veelvoud is van 4 als z² een veelvoud is van 8?
Want als 8|z²,dan 8|z. Maar 2|8 dus 2|z. Dus z is dan toch een veelvoud van 2?
En waarom volgt nu dat y even is?
En waarom ggd(z,2y²,x²)=1.

(vervolg bewijs)
Schrijf de vergelijking in de vorm

(2) z²+2(2(y²))²=(x²)²

dan vind je dat z, 2(y²), x² een primitieve oplossing is van de vergelijking x²+2y²=z².

Daarom kunnen we schrijven

z=(+/-)(2(R²)-S²)
2y²=2RS
x²=2(R²)+S² en (2R,S)=1

Omdat (R,S)=1 en y²=RS, kunnen we schrijven R=u² en S=v² met (2(u²),v²)=1. Maar dan x²=2((u²))²+v², dus v², u²,x is ook een primitieve oplossing van (2).Daarom kunnen we schrijven,

v²=(+/-)(2(M²)-N²)
u²=2MN
x=2(M²)+N² en (2M,N)=1

Vraag 2.
Het volgende begrijp ik niet.(Als je de lemma toepast krijg je toch r=2M, s=N, rs=u²=2MN, dus 2M=Y² en N=X²?)

Van (2M,N)=1 en u²=2MN kunnen we schrijven M=2(Y²), N=X²,ggd(2Y,X)=1

Vraag 3.
(vervolg bewijs)
Het volgende begrijp ik niet:

Omdat v en N oneven zijn,volgt dat
v²=2(M²)-N²=8(Y⁴)-N²
onmogelijk is want 1 en -1 zijn congruent mod8, dus het tweede geval
v²=N²-2(M²)=X⁴-8(Y⁴) moet gelden.

(vervolg bewijs)
Maar dit is dezelfde type vergelijking als waar je mee begonnen bent en het heeft een oplossing waarin

X=X²=NN²+2(M²)=x

Vraag 4.
Waarom is N²+2(M²)=x?

Dus er is een tegenspraal bereikt. De relatie heeft geen oplossingen. Einde bewijs

Groeten en alvast bedankt,

viky
Student hbo - dinsdag 30 maart 2004

Antwoord

Dat is een behoorlijk ingewikkeld verhaal, zeg. Laten we maar eens kijken hoever we er mee komen.

Vraag 1: elk getal z kun je schrijven als z = 4k of z = 4k+1 of z = 4k+2 of z = 4k+3.
De kwadraatvormen van deze 4 mogelijkheden zijn 16k² en 16k²+8k+1 en 16k²+16k+4 en 16k²+24k+9.
Je ziet nu dat alleen 16k² het predikaat 8-voud kan hebben, en dus is z = 4k, een 4-voud.
Je schrijft bij deze vraag: 8|z² dús 8|z. Maar, 8|4² maar niet 8|4.

Als x even wordt verondersteld, dan is x⁴ ook even. We weten dat z is veelvoud van 4, dus ook even. Maar dan is x⁴ - z² ook even, dús 8y⁴ even dús y even.

De getallen x en y zijn onderling priem, hebben dus GGD = 1. Dat betekent dat ze geen enkele priemfactor gemeenschappelijk hebben, en de gekwadrateerde getallen dan ook niet. De factor 2 zit wel in 2y², maar niet in x², want x is oneven. Dus: GGD(2y²,x²) = 1, en het derde getal z kan dat niet meer veranderen.

Vraag 2: Je kunt inderdaad uitgaan van 2M = Y² volgens het lemma. 2M is natuurlijk even, dus Y² is even, dús Y is even. Dan is Y=2K ofwel 2M = (2K)² = 4K² en dus M = 2K².

De start van vraag 3 begrijp ik ook niet. Er wordt namelijk gezegd dat 1 en -1 congruent zijn mod8, dus de bewering is 1º-1mod(8). Dan zou 8 deelbaar moeten zijn op 1-(-1) = 2, hetgeen niet zo is.

Vraag 4: de bewering over N en M staat al beschreven in je laatste regel boven vraag 2. Het aantal letters in dit bewijs (typisch geval van de "descente infinie" van Fermat) is wel zó talrijk, dat je de grootste moeite moet doen om het spoor niet bijster te raken.

Hopelijk ben je wat verder met m'n uitleg. Als vraag 3 niet helder wordt (heb je geen tikfoutje gemaakt?) gaan we verder zoeken.

MBL
dinsdag 30 maart 2004

Re: Diophantische vergelijkingen

©2001-2024 WisFaq