Re: Het Dirichletprobleem oplossen mbv de poissonintegraal

Dit is een reactie op vraag 21813

Hoi Christophe,

Heel erg bedankt voor je antwoord!Ik begrijp het nu veel beter.Ik heb nog enkele vragen.

Vraag1:Alle boeken beginnen met u(x,y) (met z=x+iy) en gaan dan bewijzen dat u harmonisch is enzovoorts. Maar er wordt niet verteld waarom ze met u(x,y) beginnen. Kan het bijvoobeels zo zijn dat iemand per 'toeval'op u(x,y) is gekomen en zag dat dat de juiste oplossing was?

Vraag2:Ik begrijp nog niet goed waarom uit (*) volgt dat u differentieerbaar is.
Er hoort nog wel iets bij (*) nl.:

Dat de som f: z-S[An(z-p)^n] (en n loopt van o tot oneindig) differentieerbaar is volgt uit de volgende stelling en de kettingregel.

Stelling
Veronderstel dat de machtreeks S[An(z^n)] convergentiestraal r ongelijk aan 0 heeft.Dan is

f:Z-S[An(z^n)] , n loopt van 0 tot oneindig,

een differentieerbare functie op de cirkel met middelpunt 0 en straal r, en f'(z)=f:Z-S[nAn(z^(n-1))].

Ik begrijp niet wat deze machtreeks met u te maken heeft.

Vraag3:b is dus een willekeurige waarde. Maar waarom wordt deze b geintroduceerd?Dus waarom word er een willekeurige punt (cosb,sinb) op de rand gekozen?

Vraag4:Zij
I1=u(x,y)-f(cosb, sinb)
=1/(2*pi)INT{f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)}*[1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]da

Ik begrijp niet wat de twee stukken zijn waarover je moet inregreren. Zijn dat
I2=1/(2*pi)INT[f(cosa,sina)*[1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]]da
en
I3= 1/(2*pi)INT[-f(cosb,sinb)*[1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]]da

Of moet ik het anders zien. Dus je hebt een stuk om b.
En de rest. Maar wat is de rest? Als je niet dichtbij bij b zit? En wat heeft |e^(ia)-z|= d0 daar mee te maken?

Vraag5: Het stukje: In het stuk dichtbij b kan je die f..t/m..kleiner dan e/2
Buiten welke intgraal moet je e/2 brengen ?
Welk deel is kleiner dan e/2?

Het volgende stukje (In het andere stuk kan je niks zeggen t/m dus dat |e^(ia)-e^(ib)|d ) begreep ik niet goed want ik begrijp niet wat dat andere stuk is.
En f is begrends dus je kunt de functie afschatten. Hoe komt u aan 2*Max|f|?

Het stukje:
En dat gebruik je om die noemer te verkleinen (dus de uitdrukking te vergroten!) tot d2... f bestaat enkel op de rand, u bestaat op heel de cirkel + rand.

Wat bedoelt u precies hiermee?

Vraag6:Dan het laatste alineaatje.
Als 1-|z|^2=0 dan is toch ook de eerste intgraal (die met e/2 er in ) gelijk aan 0?

Omdat ik dus niet goed begrijp wat de integratiestukken zijn (je integreer toch nog steeds van 0 to t 2pi) begreep ik eigenlijk de uitleg vanaf In het stuk dicht bij b niet altijd.

Heel veel groeten,

Viky

viky
Student hbo - vrijdag 26 maart 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Vraag 1: allicht zal die formule voor u(x,y) er wel gekomen zijn met trial and error.

Anderzijds zit er wel een beetje logica in: om de waarde van u te berekenen in een punt binnenin de schijf, neem je een soort van gemiddelde van f over de hele rand door f te integreren. Echter, de waarde van u moet ook afhangen van z=x+yi, vandaar die uitdrukking Re(...) En die factor 1/2pi moet er gewoon bij opdat u en f zouden samenvallen op de rand.

Vraag 2: als u schrijfbaar is als machtreeks, dan is u differentieerbaar (namelijk termsgewijs, zoals je schrijft in die reactie). En daaruit volgt dat u harmonisch is (dat is die link). Dus moet je je alleen nog afvragen of u een machtreeks is... En om eerlijk te zijn: ik zou niet echt weten hoe je dat moet doen. Het zal wel een eigenschap zijn: 'wanneer een functie aan die en die voorwaarde voldoet kan je ze schrijven als machtreeks'... Vreemd dat dat niet in die boeken staat?

Vraag 3: Je wil een aantal dingen aantonen over u, namelijk onder meer het samenvallen met f op de rand, en ook continuïteit op de rand. Dat doe je door een willekeurig punt te kiezen op de rand, en te bewijzen dat in dat punt geldt: u=f en u is continu. Wel, dat punt noem je juist cosb + isinb of (cosb, sinb).

b is dus willekeurig gekozen: je kan de redenering maken voor elke waarde van b, dus geldt de bewering in elk punt van de rand.

Vraag 4: je splitst de integraal op volgens de grenzen: je moet iets integreren voor a gaande van 0 tot 2p. b ligt ergens in dat interval. De opsplitsing die je dan doet is als volgt:
- de integraal over [b-t,b+t] waarbij t klein zal zijn. Immers, voor a in dat interval moet gelden:
|f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)| 1/2*e
- de rest, zijnde de integraal over [0,b-t] U [b+t,2p]

Van het integrandum moet je dus afblijven, dat blijft altijd mooi samen staan.

De truc is dus dat je een deel hebt waar de a-waarden dicht bij b liggen (de eerste integraal, en daar kan je gebruiken dat f(cosa,sina)-f(cosb,sinb) klein wordt); en een tweede deel waar |e^(ia)-e^(ib)| niet te klein wordt, zodat de noemer niet nul wordt.

Voor die overige vragen, hier nog eens de uitwerking van de twee integralen:
|u(x,y)-f(cosb, sinb)|
= 1/(2*pi)ò{f(cosa,sina)-f(cosb,sinb)}*[1-|z|^2/]/[|e^(i*a)-z|^2]da met a van 0 tot 2p
= 1/(2*pi) ò(epsilon/2)*[1-|z|^2]/[|e(i*a)-z|^2]da
+1/(2*pi) ò Max|f|[(1-|z|^2)/delta^2]

Hier heb je de integraal gesplitst, en in het eerste stuk heb je f(cosa,sina)-f(cosb,sinb) vergroot tot e/2. In het tweede stuk heb je f(cosa,sina)-f(cosb,sinb) vergroot tot 2Max|f| en heb je |e^(ia)-z|² verkleind tot d². Merk op dat dit de essentie is, het doel van die opsplitsing. En je profiteert twee keer: in de eerste integraal is je f-f klein genoeg, in de tweede integraal is je noemer groot genoeg.

Wat kan je daaruit besluiten? Wel, voor (x,y)=(cosb,sinb) wordt de eerste integraal verwaarloosbaar klein (epsilon) en de tweede integraal is nul omdat |z|=1, en de noemer is niet nul. Dus de hele u-f wordt nul, dus vallen u en f samen.

Voor de continuïteit moet je alleen maar de continuïteit op de rand controleren: binnen de schijf is u zeker continu door de gekozen definitie. Dus volstaat het weer de continuïteit in b te bewijzen, maw u(x,y)-u(cosb,sinb) moet klein zijn als x,y in de buurt ligt van cosb,sinb. Maar u(cosb,sinb)=f(cosb,sinb) zoals net is bewezen, dus kan je dezelfde afschatting weer gebruiken.

Vraag 6: voor z op de rand is 1-|z|²=0, maar je moet opletten: de noemer kan ook nul worden, namelijk wanneer e^(ia)=z. (in mijn eerste antwoord stond daar foutief teller ipv noemer)

Zo, ik hoop dat sommige dingen wat duidelijker zijn geworden, het is ook absoluut geen makkelijk bewijs natuurlijk...

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 27 maart 2004

©2001-2024 WisFaq