Alternatieve methode kansrekening

Beste Wiskundigen,

mijn naam is Thomas, ik zit op het Cals College Nieuwegein en ik doe 6 VWO Natuur en Techniek. Afgelopen week was ik voor wiskunde aan het oefenen voor mijn examens.

Ik was aan het oefenen met kansrekenen op blz 67 van de Wiskunde Examenbundel 2003|2004, opgave 13.
Deze opgave luid als volgt:
Men trekt aselect en met terugleggen van 1 knikker uit een vaas met 8 rode en 2 witte knikkers. De kleur van de getrokken knikker wordt genoteerd. Deze trekking wordt zo vaak uitgevoerd totdat er precies twee maal een witte knikker is getrokken. Het aantal uitgevoerde trekkingen is een stochast T. Bereken P(T6) in drie decimalen nauwkeurig.

Deze kans ging ik berekenen en redeneerde als volgt: de kans op 2 witte in maximaal 5 trekkingen is gelijk aan minimaal 2 witte in 5 trekkingen. Deze kans is weer gelijk aan 1- de kans op 0 of 1 witte in 5 trekkingen. Dat is dus 1- (0,8^5 (kans op 0 witte) x 0,8^4 x 0,2 x 5 (kans op 1 witte)= 0,26272.
Dit antwoord kwam precies overeen met het antwoord achterin de bundel. Echter, achterin de bundel hadden ze het anders aangepakt:
Er worden uit de vaas knikkers getrokken met terugleggen totdat er precies 2 witte knikkers getrokken zijn. Let op: de laatste knikker is altijd een witte. Gevraagd wordt naar de kans dat hiervoor 5 of minder trekkingen nodig zijn
P(WW) = 4/100
P(WRW of RWW) = 64/1000
P(WRRW of RWRW of RRWW) = 768/10000
P(WRRRW of RWRRW of RRWRW of RRRWW) = 8192/100000
dus P(5 of minder trekkingen) = 0,26272

Dit antwoord komt dus overeen met mijn antwoord, maar mijn methode vind ik veel makkelijker. Ik heb dit aan mijn Wiskunde docent Dhr. Thiel voorgelegd, maar ik kon het maar niet bewijzen dat mijn theorie klopt. Mijn docent geloofde wel dat ik gelijk had, maar wist niet waarom.
Mijn methode zal zeker met grotere stochasten een veel makkelijkere methode zijn.

Mijn redenatie was: Je veranderd de aanname, maar de kans niet. Dit heb ik gedaan door extra trekkingen toe te voegen, waardoor het makkelijk te berekenen is, maar vervolgens er voor gezorgt dat het niet uitmaakt welke kleur knikker je trekt in de extra trekkingen. Mijn leraar kon hier geen duidelijk bewijs uit halen.

Mijn vraag is daarom natuurlijk waarom mijn methode ook klopt en of u het kunt uitleggen, zodat ik dat weer aan mijn wiskunde docent kan voorleggen. En zou dit antwoord op een eindexamen een goed antwoord zijn?

Thomas
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 14 maart 2004

Antwoord

Beste Thomas

Je methode werkt omdat je prima gebruikt maakt van de complementregel.
P(T6) = 1-P(6)en inderdaad P(T6) = P(T5)= P(W1|n=5;p=0,2)
Want er zijn alleen maar meer dan 5 trekkingen nodig wanneer er na 5 trekkingen hoogstens 1 witte bal is getrokken - zoals je zelf al aangeeft. Deze kans is met je grm trouwens nog iets sneller te gerekenen.
De kansverdeling van de stochast T is een voorbeeld van negatief binomiale : doorgaan tot het k-de succes. In dit geval door gaan tot de tweede witte bal.
Wanneer het gaat om het eerste succes spreekt men van de geometrische verdeling (niet te verwarren nmet de hyper-geometrische). Deze kansverdelingen kun je met behulp van diverse programma's (bijv. Excel) eenvoudig genereren.
De geometrische verdeling zit ook op diverse grafische rekenmschines (in ieder geval de Casio cfx 9850)
Of de aanpak op het CSE goed is/ goed wordt gerekend ?
Als je leraar of de 2e corrector hem begrijpt waarschijnlijk wel

Zie negative binomial distribution

gk
zondag 14 maart 2004

Re: Alternatieve methode kansrekening

©2001-2024 WisFaq